柯西-黎曼方程

简介

柯西-黎曼方程用于描述复变函数 $f(z)$ 在某区域内解析的必要条件。柯西-黎曼方程给出了函数的实部和虚部之间的关系，确保函数在复平面上的导数处处存在且独立于方向。 复分析中的柯西-黎曼方程是全纯函数的必要条件，导致复函数具有比实函数更强的对称性。

定义

复变函数 $f(z)$ 可表示为：

$$f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$$

其中：

• $u(x, y)$ 是 $f(z)$ 的实部；
• $v(x, y)$ 是 $f(z)$ 的虚部；
• $z = x + i y$，其中 $x, y$ 分别是实部和虚部。

那么，$f(z)$ 在区域 $D$ 内解析的充要条件是 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 满足以下 柯西-黎曼方程：

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}.$$

这个条件强制 $u$ 和 $v$ 之间存在严格的关系，函数的局部行为完全由其在一点的性质确定。

几何性质

1. 方向导数的一致性
   柯西-黎曼方程保证复变函数的复导数在复平面中任何方向上都相等。这意味着，复导数的定义不依赖于计算导数时选取的方向。
2. 角度保持性（共形性）
   如果 $f(z)$ 在区域内解析且导数非零，柯西-黎曼方程确保 $f(z)$ 是一个共形映射，即在复平面上的任意点处保持角度不变。

推导

函数 $f(z)$ 的复导数定义为：

$$f'(z) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z + \Delta z) - f(z)}{\Delta z},$$

其中 $\Delta z = \Delta x + i \Delta y$。

为了使导数存在且独立于方向，要求：

$$\lim_{\Delta z \to 0} \frac{\partial f}{\partial x} \quad \text{和} \quad \lim_{\Delta z \to 0} \frac{\partial f}{\partial y}$$

在计算结果中一致，推导即可得到柯西-黎曼方程。

应用

1. 解析性判定
   利用柯西-黎曼方程可以判断一个复变函数是否在某区域内解析。
2. 构造解析函数
   给定一个函数的实部 $u(x, y)$ 或虚部 $v(x, y)$，可以通过柯西-黎曼方程求出另一个部分，从而构造出解析函数。
3. 物理应用
   • 柯西-黎曼方程在流体力学和电磁学中具有重要应用，例如描述二维无旋流场的速度势和流函数。

示例

1. 函数 $f(z) = z^2$
   展开 $f(z) = (x + i y)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$，其中：

   $$u(x, y) = x^2 - y^2, \quad v(x, y) = 2xy.$$

   检查柯西-黎曼方程：

   $$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y.$$

   满足柯西-黎曼方程，因此 $f(z)$ 在复平面上解析。

2. 函数 $f(z) = \bar{z} = x - i y$
   其中 $u(x, y) = x, v(x, y) = -y$，检查：

   $$\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 0, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 0.$$

   不满足柯西-黎曼方程，因此 $f(z)$ 在复平面上不解析。