柯西积分定理

概述

柯西积分定理说明，复平面上全纯函数的闭合路径积分为零。这意味着，任何尝试绕回起点的积分都将抵消，可以简化留数定理和复平面上全纯函数的积分的计算。从柯西积分定理可以推导出柯西积分公式和留数定理。

定义

柯西积分定理有两个等价的描述：

1. 路径独立性：在复平面上，如果函数 $f(z)$ 在区域 $D$ 内全纯（即处处解析且导数存在），并且 $D$ 是单连通的（没有洞），那么从一点到另一点的积分值不依赖于路径的选择，只要这些路径完全位于 $D$ 内。
2. 闭合路径积分为零：如果 $f(z)$ 在单连通区域 $D$ 内全纯，那么对于任何完全包含在 $D$ 内的可求长闭合曲线 $C$，有：$$\oint_C f(z) , dz = 0$$