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反圆锥曲线函数与对数函数的统一

数学

反三角函数也可以通过对数函数在复数域的形式统一表达。这种统一依赖于反三角函数的对数化表达，以及它们与双曲函数之间的紧密联系。

1. arcsin⁡(x)\arcsin(x) 和 arccos⁡(x)\arccos(x)

利用复数对数的形式，可以将 arcsin⁡(x)\arcsin(x) 和 arccos⁡(x)\arccos(x) 写为：

arcsin⁡(x)=−iln⁡(ix+1−x2).\arcsin(x) = -i \ln\left(ix + \sqrt{1-x^2}\right).

  • 1−x2\sqrt{1-x^2} 表示实数部分。
  • −iln⁡(⋅)-i \ln(\cdot) 表示将对数转为角度（弧度）。

arccos⁡(x)=−iln⁡(x+i1−x2).\arccos(x) = -i \ln\left(x + i\sqrt{1-x^2}\right).

  • 注意 arccos⁡(x)=π2−arcsin⁡(x)\arccos(x) = \frac{\pi}{2} - \arcsin(x)，其对数形式也可以通过这一关系得到。

2. arctan⁡(x)\arctan(x) 和 arccot(x)\text{arccot}(x)

这两个函数的复数对数形式非常经典，直接通过复数域的定义可以表示：

arctan⁡(x)=i2ln⁡(1−ix1+ix).\arctan(x) = \frac{i}{2} \ln\left(\frac{1-ix}{1+ix}\right).

arccot(x)=i2ln⁡(x−ix+i).\text{arccot}(x) = \frac{i}{2} \ln\left(\frac{x-i}{x+i}\right).

  • 通过对称性和定义关系得到。

3. arcsec(x)\text{arcsec}(x) 和 arccsc(x)\text{arccsc}(x)

这两个函数的对数化形式稍复杂，但可以通过导数和复数域解析得到：

arcsec(x)=iln⁡(x+x2−1).\text{arcsec}(x) = i \ln\left(x + \sqrt{x^2-1}\right).

arccsc(x)=iln⁡(1x+1x2−1).\text{arccsc}(x) = i \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}\right).

通过复数表示，反三角函数的形式可以被完全统一为对数的表达，并且对这些函数的性质（如单调性、定义域）仍然成立。这种统一表述不仅方便计算，还揭示了反三角函数与复数域之间的深层次联系。

反双曲函数也有一样的性质。

总结

积分表达式函数形式复对数形式定义域值域
∫1a2−x2dx\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dxarcsin⁡xa+C\arcsin \frac{x}{a} + C−iln⁡(ix+a2−x2)+C-i \ln\left(ix + \sqrt{a^2 - x^2}\right) + Cx≤ax\leq a[−π2,π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]
∫−1a2−x2dx\int -\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dxarccos⁡xa+C\arccos \frac{x}{a} + C−iln⁡(x+ia2−x2)+C-i \ln\left(x + i\sqrt{a^2 - x^2}\right) + Cx≤ax\leq a[0,π][0, \pi]
∫11+x2dx\int \frac{1}{1+x^2} dxarctan⁡x+C\arctan x + Ci2ln⁡(1−ix1+ix)+C\frac{i}{2} \ln\left(\frac{1-ix}{1+ix}\right) + Cx∈Rx \in \mathbb{R}(−π2,π2)(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})
∫−11+x2dx\int -\frac{1}{1+x^2} dxarccot⁡x+C\operatorname{arccot} x + Ci2ln⁡(x−ix+i)+C\frac{i}{2} \ln\left(\frac{x-i}{x+i}\right) + Cx∈Rx \in \mathbb{R}(0,π)(0, \pi)
∫1xx2−a2dx\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} dxarcsec⁡xa+C\operatorname{arcsec} \frac{x}{a} + Ciln⁡(xa+x2a2−1)+Ci \ln\left(\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2} - 1}\right) + Cx≥ax\geq a[0,π]∖π2[0, \pi] \setminus {\frac{\pi}{2}}
∫−1xx2−a2dx\int -\frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} dxarccsc⁡xa+C\operatorname{arccsc} \frac{x}{a} + Ciln⁡(1x+1x2−1a2)+Ci \ln\left(\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - \frac{1}{a^2}}\right) + Cx≥ax\geq a[−π2,π2]∖0[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \setminus {0}
∫1x2+a2dx\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} dxarsinh⁡xa+C\operatorname{arsinh} \frac{x}{a} + Cln⁡(x+x2+a2)+C\ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + Cx∈Rx \in \mathbb{R}x∈Rx \in \mathbb{R}
∫1x2−a2dx\int \frac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} dxarcosh⁡xa+C\operatorname{arcosh} \frac{x}{a} + Cln⁡(x+x2−a2)+C\ln\left(x + \sqrt{x^2 - a^2}\right) + Cx≥ax \geq a[0,∞)[0, \infty)
∫11−x2dx\int \frac{1}{1-x^2} dxarctanh⁡x+C\operatorname{arctanh} x + C12ln⁡(1+x1−x)+C\frac{1}{2} \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) + Cx<1x< 1(−∞,∞)(-\infty, \infty)
∫−11−x2dx\int -\frac{1}{1-x^2} dxarccoth⁡x+C\operatorname{arccoth} x + C12ln⁡(x+1x−1)+C\frac{1}{2} \ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) + Cx>1x> 1(0,∞)(0, \infty)
∫1x1−x2dx\int \frac{1}{x\sqrt{1-x^2}} dxarcsech⁡x+C\operatorname{arcsech} x + C−ln⁡(x+x2−1)+C-\ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) + C0<x≤10 < x \leq 1(0,π2](0, \frac{\pi}{2}]
∫−1x1+x2dx\int -\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}} dxarccsch⁡x+C\operatorname{arccsch} x + Cln⁡(x+x2+1)+C\ln\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right) + Cx∈R∖0x \in \mathbb{R} \setminus {0}(−∞,∞)(-\infty, \infty)

说明：

  1. a>0a > 0 , 这是积分定义域中对参数的常见要求。
  2. 常数 CC 表示积分常数，省略了上下文的定积分上下限。
  3. 所有结果均基于复对数主值。
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