概率04-23真题

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常见分布的期望方差：二级结论

分右类型	分布律或概率密度	期留	方差
$0-1$ 分布	$p_k=P\{X=k\}=p^k q^{1-k} \quad(q=1-p),(k=0,1)$	$p$	$p(1-q)$
二项分布	$p_k=P\{X=k\}=C_n^k p^k q^{n-k}$ $(q=1-p),(k=1,2, \ldots, n)$	$n p$	$n p(1-q)$
几何分布	$p_k=P\{X=k\}=(1-\mathrm{p})^{k-1} p$ , $(k=1,2, \ldots, n), 0<p<1$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
泊松分布	$p_k=P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k !} e^{-\lambda} \quad(i=0,1,2,3 \ldots)$	$\lambda$	$\lambda$
指数分布	$f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lambda e^{-\lambda x}, x>0 \\ 0, x \leq 0\end{array}\right.$	$\frac{1}{\lambda}$	$\frac{1}{\lambda^2}$
正态分布	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}} \quad(-\infty<x<+\infty, \sigma>0)$	$\mu$	$\sigma^2$
均匀分布	$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{b-a}, & a<x<b \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
$\chi^2$ 分布	$X_1, X_2, \ldots X_n$ 相互独立, 且都服从标准正态分布 $\mathrm{N}(0,1)$ $\chi^2=X_1^2+X_2^2+\ldots+X_n^2$	$n$	$2 n$

共103道
- 14
- 8
- 17
- 31
- 16
- 5
- 12

随机事件和概率(9+5=14道)

证关系式

数一2015

数一2017

数一2019

数一2021

数三2009#(7)

数三2016#(7)

数三2017#(7)

计算概率

数一2022

数一2012

数一2014

数一2018

数一2020

数三2018#(14)

古典概型

数三2016#(14)

随机变量及其分布(7+1道)

由分布函数求概率

数一2010

二项分布，01分布,几何分布

数一2015

数一2018

概率密度的关系

数一2011

数一2010

指数分布的无记忆性

数一2013

由X的概率，求分布函数Y=g(X)

数三2023#(22)

多维随机变量及其分布(10+7=17道)

二维随机变量及其分布

离散型

数一2009

数一2020

数一2012

数三2010#(23)

数三2013#(8)

连续型

数一2013

数一2012

数一2021

混合型

数一2016

数一2017

数三2020#(22)

二维正态

数一2015

边缘分布和条件分布

条件分布是连接一维随机变量和二维随机变量的桥梁
- 条件分布就等于二维随机变量，除以一维随机变量

数一2009

数一2010

数三2009#(22)

数三2011#(23)

数三2013#(22)

标准正态

数一2013

数一2019

均匀分布

数三2012#(7)

随机变量的数字特征(22+9=31道)

数学期望与方差

公式

$E(X Y)=E(X) E(Y)$
$D X=E\left(X^2\right)-(E X)^2$
$D(X+Y)=D X+D Y+2 \operatorname{Cov}(X, Y)$ $D (X + Y) = D X + D Y + 2 Cov (X, Y)$
- $D(a X+b Y+c)=a^2 D X+b^2 D Y+2 a b \operatorname{Cov}(X,Y)$
$\operatorname{Cov}(X, Y)=E(X Y)-E(X) \cdot E(Y)\xlongequal[]{独立}0$
$ρ_{x y}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D_X} \cdot \sqrt{D_Y}}$