R02-数学-向量分析

3. ベクトル解析 Vector analysis

在直角坐标系中，沿 $x, y, z$ 轴方向的单位矢量分别为 $i, j, k$，回答以下问题：

1. 考虑面 $z = x^2 + y^2$ 和 面 $z = \left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$： a. 证明点 $P\left(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{4}\right)$ 均在两面上。 b. 求点 $P$ 处两面的法线的夹角。
2. 定义矢量场 $A = x^2i - y^2j + z^2k$，令 $S$ 为由 $x^2 + y^2 = 9, z = 0, z = 4$ 包围的圆柱的表面，计算面积分

   $$\iint_S A \cdot n \, dS,$$

   其中 $n$ 为 $S$ 的外向单位法向量。

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解答

1. 两曲面的法向量

a. 证明点 $P$ 均在两面上

点 $P\left(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{1}{4}\right)$ 是否满足两个面的方程：

1. 面 $z = x^2 + y^2$： 将 $x = \frac{\sqrt{2}}{4}, y = \frac{\sqrt{2}}{4}, z = \frac{1}{4}$ 代入：

   $$z = \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}.$$

   符合该面方程。
2. 面 $z = \left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$： 将 $x = \frac{\sqrt{2}}{4}, y = \frac{\sqrt{2}}{4}, z = \frac{1}{4}$ 代入：

   $$z = \left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2.$$

   计算 $\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$：

   $$z = \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}.$$

   符合该面方程。 因此，点 $P$ 在两面上。

b. 求点 $P$ 处两面的法线夹角

法线向量是梯度 $\nabla f$ 的方向，分别计算两面的法线向量：

1. 面 $z = x^2 + y^2$ 对应隐函数 $f_1(x, y, z) = z - x^2 - y^2$：

   $$\nabla f_1 = \left(-2x, -2y, 1\right).$$

2. 面 $z = \left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ 对应隐函数 $f_2(x, y, z) = z - \left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 - \left(y - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$：

   $$\nabla f_2 = \left(-2\left(x - \frac{1}{\sqrt{2}}\right), -2\left(y - \frac{1}{\sqrt{2}}\right), 1\right).$$

在点 $P$ 处 $\left(x = \frac{\sqrt{2}}{4}, y = \frac{\sqrt{2}}{4}, z = \frac{1}{4}\right)$，计算法线向量：

• $\nabla f_1$：

  $$\nabla f_1 = \left(-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}, -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4}, 1\right) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right).$$

• $\nabla f_2$：

  $$\nabla f_2 = \left(-2\left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right), -2\left(\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right), 1\right).$$

  计算 $\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$：

  $$\nabla f_2 = \left(-2 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{4}, -2 \cdot -\frac{\sqrt{2}}{4}, 1\right) = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right).$$

两向量的夹角由公式 $\cos \theta = \frac{\nabla f_1 \cdot \nabla f_2}{\|\nabla f_1\| \|\nabla f_2\|}$ 给出：

1. 向量点积：

   $$\nabla f_1 \cdot \nabla f_2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 1 \cdot 1 = -\frac{1}{2} - \frac{1}{2} + 1 = 0.$$

2. 向量模长：

   $$\|\nabla f_1\| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1} = \sqrt{2}.$$

   $$\|\nabla f_2\| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 1} = \sqrt{2}.$$

夹角：

$$\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{\pi}{2}.$$

结论：两面法线夹角为 $\frac{\pi}{2}$，即两面正交。

2. 圆柱面积分

圆柱表面 $S$

圆柱 $x^2 + y^2 = 9, z = 0, z = 4$ 包括底面、顶面和侧面，分别计算：

1. 底面 $z = 0$

法向量 $n = -k$，$dS = dx \, dy$。在底面 $A = x^2i - y^2j$，计算通量：

$$A \cdot n = (x^2i - y^2j + z^2k) \cdot (-k) = 0.$$

底面贡献为 $0$。

2. 顶面 $z = 4$

法向量 $n = k$，$dS = dx \, dy$。在顶面 $A = x^2i - y^2j + 16k$，计算通量：

$$A \cdot n = (x^2i - y^2j + z^2k) \cdot k = 16.$$

顶面面积为 $\pi r^2 = \pi \cdot 9 = 9\pi$，积分结果：

$$\iint_{\text{顶面}} A \cdot n \, dS = 16 \cdot 9\pi = 144\pi.$$

3. 侧面 $x^2 + y^2 = 9$

侧面法向量 $n = (x, y, 0)/\sqrt{x^2 + y^2} = (x, y, 0)/3$，$dS = 3 \, d\theta \, dz$。在侧面 $A = x^2i - y^2j + z^2k$，计算通量：

$$A \cdot n = (x^2, -y^2, z^2) \cdot \frac{(x, y, 0)}{3} = \frac{x^3 - y^3}{3}.$$

积分对称，$x^3$ 和 $y^3$ 分量关于 $\theta$ 的积分为 $0$，侧面贡献为 $0$。

总结

$$\iint_S A \cdot n \, dS = 0 + 144\pi + 0 = 144\pi.$$

高斯公式

也可以使用高斯公式，即散度定理：

$$\iint_S A \cdot n \, dS = \iiint_V (\nabla \cdot A) \, dV$$

其中 $V$ 是该圆柱的体积。

2. 散度计算： 计算矢量场 $A$ 的散度：

$$\nabla \cdot A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$$

$$A_x = x^2, \quad A_y = -y^2, \quad A_z = z^2$$

$$\nabla \cdot A = \frac{\partial (x^2)}{\partial x} + \frac{\partial (-y^2)}{\partial y} + \frac{\partial (z^2)}{\partial z} = 2x + (-2y) + 2z = 2(x - y + z)$$

3. 积分区域： 圆柱由方程 $x^2 + y^2 = 9$ 定义，表示半径为 3 的圆柱，$z$ 的范围是从 $0$ 到 $4$。

4. 体积分计算： 将积分转化为柱坐标系计算：

$$x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta, \quad z = z$$

散度在柱坐标下表达为：

$$\nabla \cdot A = 2(r \cos \theta - r \sin \theta + z)$$

体积元素为：

$$dV = r \, dr \, d\theta \, dz$$

积分范围为：

$$0 \leq r \leq 3, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq z \leq 4$$

进行积分：

$$\iiint_V 2(r \cos \theta - r \sin \theta + z) \, r \, dr \, d\theta \, dz$$

计算过程：

$$\iiint_V 2(r \cos \theta - r \sin \theta + z) r \, dr \, d\theta \, dz$$

分解积分：

$$2 \int_0^4 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 (r^2 \cos \theta - r^2 \sin \theta + zr) dr$$

分步计算：

$$\int_0^3 r^2 dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^3 = 9$$

$$\int_0^{2\pi} \cos \theta d\theta = 0, \quad \int_0^{2\pi} \sin \theta d\theta = 0, \quad \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$$

$$\int_0^3 r dr = \left[ \frac{r^2}{2} \right]_0^3 = \frac{9}{2}$$

$$\int_0^4 z dz = \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^4 = 8$$

组合后：

$$2 (0 + 0 + 8 \cdot 2\pi \cdot \frac{9}{2}) = 144\pi$$