解析学・微積分

1. $R^m$ 上で微分可能な実数値関数 $f(x) \ (x = (x_1, x_2, \dots, x_m))$ について, $x_i = v_i(t) \ (i = 1, 2, \dots, m)$ とおく．ただし, 各 $v_i$ は $R$ 上で微分可能な関数とする．次の各問いに答えよ.
   • (a) $\frac{df}{dt}$ を $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ と $\frac{dv_i}{dt} \ (i = 1, 2, \dots, m)$ で表せ.
   • (b) $m = 2, f(x) = x_1^2 + x_1 x_2 + 2x_2^2, v_1(t) = \sin t, v_2(t) = e^t$ のとき, $\frac{df}{dt}$ を求めよ.
2. 次の微分方程式の一般解を求めよ. $$\frac{dy}{dx} - 2xy = e^{x2}$$
3. 閉曲線 $C$ に沿った複素積分 $$\oint_C \frac{\cos z}{(2z - \pi)^3} , dz$$ を求めよ．ただし, $C$ は円 $|z| = 2$ とする.

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以下逐题进行解析并给出答案。为方便阅读，记号中会将 $\frac{d}{dx}$ 等常用符号直接写出，不再特别声明其含义。

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1. 多元函数的全微分与链式法则

设 $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}^m$ 上可微，记

$$x = (x_1, x_2,\dots, x_m),$$

并令每个分量 $x_i = v_i(t)$（其中 $v_i: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 可微）。

(a) $\frac{df}{dt}$ 的表达式

由多元函数的链式法则可知

$$\frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^m \frac{\partial f}{\partial x_i}\bigl(x_1,\dots,x_m\bigr)\,\frac{d v_i(t)}{dt}.$$

这就是所求的 (a) 小问的答案。

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(b) 具体函数与具体参数函数的例子

给定

$$m = 2,\quad f(x_1,x_2) = x_1^2 \;+\; x_1 x_2 \;+\; 2 x_2^2,$$

并且

$$v_1(t) = \sin t,\quad v_2(t) = e^t.$$

令 $x_1 = v_1(t) = \sin t$, $x_2 = v_2(t) = e^t$。要求 $\tfrac{df}{dt}$。

1. 先计算偏导数：

   $$\frac{\partial f}{\partial x_1} = 2 x_1 + x_2,$$

   $$\frac{\partial f}{\partial x_2} = x_1 + 4 x_2.$$

2. 将 $x_1, x_2$ 替换成 $\sin t, e^t$：

   $$\frac{\partial f}{\partial x_1}\Bigl(\sin t, e^t\Bigr) = 2\sin t \;+\; e^t,$$

   $$\frac{\partial f}{\partial x_2}\Bigl(\sin t, e^t\Bigr) = \sin t \;+\; 4e^t.$$

3. 还需要 $\frac{dv_1}{dt} = \cos t$ 和 $\frac{dv_2}{dt} = e^t$。

4. 由链式法则：

   $$\frac{df}{dt} = \bigl(2 \sin t + e^t\bigr)\,\cos t \;+\; \bigl(\sin t + 4 e^t\bigr)\,e^t.$$

可根据需要再做一些展开，但通常保持上述形式即可。若展开则是

$$\frac{df}{dt} = 2\sin t \cos t \;+\; e^t \cos t \;+\; \sin t\,e^t \;+\; 4 e^{2t}.$$

这就是所求的 $\frac{df}{dt}$。

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2. 一阶线性常微分方程

考虑微分方程

$$\frac{dy}{dx} \;-\; 2x\,y \;=\; e^{x^2}.$$

这是一个标准的一阶线性方程

$$\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x),$$

的形式，只是这里 $p(x)=-2x$，$q(x)=e^{x^2}$。
其解法通常用“积分因子” (integrating factor)：

1. 积分因子

   $$\mu(x) = \exp\Bigl(\int -2x \,dx\Bigr) = \exp\bigl(-x^2\bigr).$$

2. 将原方程左右同乘以 $\mu(x)$ 得

   $$e^{-x^2} \frac{dy}{dx} \;-\; 2x\, e^{-x^2}\,y = e^{-x^2}\, e^{x^2} = 1.$$

   观察左侧可知它是

   $$\frac{d}{dx}\bigl(y\, e^{-x^2}\bigr),$$

   因为

   $$\frac{d}{dx}\bigl(y\, e^{-x^2}\bigr) = e^{-x^2}\,\frac{dy}{dx} + y \,\frac{d}{dx}\bigl(e^{-x^2}\bigr) = e^{-x^2}\,\frac{dy}{dx} \;-\;2x\, e^{-x^2}\,y.$$

   这正好与我们上面左侧相同。

3. 因此积分化简为

   $$\frac{d}{dx}\bigl(y\, e^{-x^2}\bigr) = 1.$$

   对 $x$ 积分：

   $$y\, e^{-x^2} = \int 1 \,dx = x + C,$$

   其中 $C$ 为任意常数。

4. 最后解出 $y$：

   $$y = e^{x^2}\,(x + C).$$

这就是方程的通解。

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3. 复积分 $\displaystyle \oint_C \frac{\cos z}{(2z - \pi)^3}\,dz$，其中 $C: |z|=2$

我们要计算

$$\oint_C \frac{\cos z}{(2z-\pi)^3}\,dz,$$

其中 $C$ 是以原点为中心、半径 2 的圆 $|z|=2$。

1. 奇点及其位置
   分母 $(2z - \pi)^3 = 0$ 给出奇点 $z = \frac{\pi}{2}$。
   数值上 $\pi \approx 3.14159$，故 $\frac{\pi}{2} \approx 1.5708$，其绝对值约 1.57，小于 2。因此 $z=\frac{\pi}{2}$ 在圆 $|z|=2$ 的内部。

2. 计算方法
   该奇点是三阶极点 (third-order pole)。根据留数定理 (Residue Theorem)，若函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 是一个极点且位于闭合曲线 $C$ 内，则

   $$\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \,\cdot\, \mathrm{Res}\bigl(f, z_0\bigr).$$

   这里要找

   $$\mathrm{Res}\!\Bigl(\frac{\cos z}{(2z-\pi)^3},\,z=\tfrac{\pi}{2}\Bigr).$$

3. 留数的计算
   对于三阶极点，可以用“通用留数公式”：

   $$\mathrm{Res}\bigl(f,z_0\bigr) = \frac{1}{2!}\,\lim_{z \to z_0} \frac{d^2}{dz^2}\Bigl[(z - z_0)^3 \,f(z)\Bigr].$$

   在此处 $z_0 = \frac{\pi}{2}$。先观察

   $$(z - \tfrac{\pi}{2})^3 \,\frac{\cos z}{(2z-\pi)^3}.$$

   注意到

   $$2z - \pi = 2\bigl(z - \tfrac{\pi}{2}\bigr),$$

   因而

   $$(z - \tfrac{\pi}{2})^3 \,\frac{1}{(2z-\pi)^3} = (z-\tfrac{\pi}{2})^3 \,\frac{1}{\bigl(2(z-\tfrac{\pi}{2})\bigr)^3} = \frac{1}{8}.$$

   于是

   $$(z - \tfrac{\pi}{2})^3 \,\frac{\cos z}{(2z-\pi)^3} = \frac{\cos z}{8}.$$

   根据留数公式要取它对 $z$ 的二阶导数并在 $z\to \frac{\pi}{2}$ 处极限，然后再乘 $\tfrac{1}{2!}$。

   计算二阶导数：

   $$\frac{d}{dz}\Bigl(\tfrac{\cos z}{8}\Bigr) = \tfrac{-\sin z}{8}, \qquad \frac{d^2}{dz^2}\Bigl(\tfrac{\cos z}{8}\Bigr) = \tfrac{-\cos z}{8}.$$

   在 $z=\frac{\pi}{2}$ 代入可得

   $$\left.\frac{-\cos z}{8}\right|_{z=\tfrac{\pi}{2}} = -\frac{\cos(\tfrac{\pi}{2})}{8} = -\frac{0}{8} = 0.$$

   所以该二阶导数在 $z=\frac{\pi}{2}$ 的值是 0。由此可见

   $$\mathrm{Res}\Bigl(\frac{\cos z}{(2z-\pi)^3},\, z=\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{1}{2!}\,\times\,0 = 0.$$

4. 由留数定理得出积分值
   既然留数为 0，那么

   $$\oint_C \frac{\cos z}{(2z - \pi)^3}\,dz = 2\pi i \,\times\, 0 = 0.$$

因此，该复积分等于 0。

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最终答案

1. (a)

$$\frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^{m} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,\frac{d v_i}{dt}.$$

(b) 当 $m=2,\,f(x_1,x_2)=x_1^2 + x_1 x_2 + 2x_2^2,\; v_1(t)=\sin t,\;v_2(t)=e^t$ 时，

$$\frac{df}{dt} = \bigl(2\sin t + e^t\bigr)\cos t \;+\; \bigl(\sin t + 4e^t\bigr) e^t.$$

2. 微分方程

$$\frac{dy}{dx} - 2xy = e^{x^2}$$

的通解为

$$y = e^{x^2}\,(x + C),$$

其中 $C$ 为任意常数。

3. 复积分

$$\oint_{|z|=2} \frac{\cos z}{(2z - \pi)^3}\,dz = 0.$$