R05-数学-概率统计

確率・統計

箱の中に5枚のコイン（コイン1～コイン5）がある。箱から一様ランダムにコインを1枚選んで何度か投げる試行を考える。ただし、それぞれのコイン $i$ の表が出る確率 $p_i$ は次の通りである。

$$p_1 = 0, \quad p_2 = \frac{1}{4}, \quad p_3 = \frac{1}{2}, \quad p_4 = \frac{3}{4}, \quad p_5 = 1$$

表が出る事象を $H$ とし、コイン $i$ が選ばれる事象を $C_i$ とする。 (1) 選んだコインを1回投げるとする。表が出る確率 $p(H)$ を答えよ。 (2) 選んだコインを1回投げたところ表が出たとする。条件付き確率 $p(C_i | H)$ を $i = 1, \dots, 5$ についてそれぞれ求めよ。 (3) 選んだコインを2回投げるとする。条件付き確率 $p(H_2 | H_1)$ を求めよ。ただし $H_j$ は $j$ 回目に表が出る事象であり、$j = 1,2$ である。 (4) 選んだコインを4回投げるとする。$p(C_i | B_4)$ を $i = 1, \dots, 5$ についてそれぞれ求めよ。ただし $B_4$ は4回目に初めて表が出る事象を表す。

Probability and statistics

中文翻译

箱中有5枚硬币（硬币1～硬币5）。从箱中随机选择一枚硬币并进行多次投掷。每枚硬币 $i$ 的正面概率 $p_i$ 如下：

$$p_1 = 0, \quad p_2 = \frac{1}{4}, \quad p_3 = \frac{1}{2}, \quad p_4 = \frac{3}{4}, \quad p_5 = 1$$

设 $H$ 为出现正面的事件，$C_i$ 为选择硬币 $i$ 的事件。 (1) 选择一枚硬币并投掷一次。求出现正面的概率 $p(H)$。 (2) 选择一枚硬币并投掷一次，结果为正面。求条件概率 $p(C_i | H)$，$i = 1, \dots, 5$。 (3) 选择一枚硬币并投掷两次。求条件概率 $p(H_2 | H_1)$，其中 $H_j$ 表示第 $j$ 次投掷出现正面，$j = 1,2$。 (4) 选择一枚硬币并投掷四次。求条件概率 $p(C_i | B_4)$，$i = 1, \dots, 5$，其中 $B_4$ 表示第四次投掷首次出现正面。

---

解答

(1) 由于每枚硬币被选中的概率相等，$p(H) = \frac{1}{5}(0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 1) = \frac{1}{2}$。 (2) 根据贝叶斯定理，

$$p(C_i | H) = \frac{p(H | C_i) p(C_i)}{p(H)} = \frac{p_i \cdot \frac{1}{5}}{\frac{1}{2}} = \frac{2p_i}{5}$$

因此，$p(C_1 | H) = 0$，$p(C_2 | H) = \frac{1}{10}$，$p(C_3 | H) = \frac{1}{5}$，$p(C_4 | H) = \frac{3}{10}$，$p(C_5 | H) = \frac{2}{5}$。 (3) 由于每次投掷独立，$p(H_2 | H_1) = p(H_2) = \frac{1}{2}$。 (4) $B_4$ 表示前三次均为反面，第四次为正面。