直交座標系において，x x x y y y i \mathbf{i} i j \mathbf{j} j F \mathbf{F} F C C C
∫ C F ⋅ d r \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ∫ C F ⋅ d r
をそれぞれ求めよ．
ベクトル場 F = ( 2 x y 3 − y ) i + ( 3 x 2 y 2 − x ) j \mathbf{F} = (2xy^3 - y)\mathbf{i} \;+\; (3x^2y^2 - x)\mathbf{j} F = ( 2 x y 3 − y ) i + ( 3 x 2 y 2 − x ) j
とし，経路 C C C
y 3 + x 2 − 2 x y = 1 y^3 + x^2 - 2xy = 1 y 3 + x 2 − 2 x y = 1
上で，始点 ( − 13 , − 4 ) (-13,-4) ( − 13 , − 4 ) ( 5 , − 4 ) (5,-4) ( 5 , − 4 )
ベクトル場 F = ( 3 e 2 x + 4 y ) i + ( x + 7 y e y ) j \mathbf{F} = (3e^{2x} + 4y)\mathbf{i} \;+\; (x + 7y e^y)\mathbf{j} F = ( 3 e 2 x + 4 y ) i + ( x + 7 y e y ) j
とする．経路 C C C P ( 0 , 0 ) P(0,0) P ( 0 , 0 ) Q ( 2 , 2 ) Q(2,2) Q ( 2 , 2 ) R ( 4 , 6 ) R(4,6) R ( 4 , 6 ) S ( 1 , 3 ) S(1,3) S ( 1 , 3 ) P → Q → R → S → P P\to Q\to R\to S\to P P → Q → R → S → P
The unit vectors on x and y axes of Cartesian coordinates are denoted by i and j, respectively. Find each line integral $$\int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$$ of the vector field F F F C C C
Let i \mathbf{i} i j \mathbf{j} j x x x y y y F \mathbf{F} F C C C
∫ C F ⋅ d r . \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}. ∫ C F ⋅ d r .
Let F = ( 2 x y 3 − y ) i + ( 3 x 2 y 2 − x ) j , \mathbf{F} = (2xy^3 - y)\mathbf{i} \;+\; (3x^2y^2 - x)\mathbf{j}, F = ( 2 x y 3 − y ) i + ( 3 x 2 y 2 − x ) j ,
and let C C C
y 3 + x 2 − 2 x y = 1 y^3 + x^2 - 2xy = 1 y 3 + x 2 − 2 x y = 1
from ( − 13 , − 4 ) (-13,-4) ( − 13 , − 4 ) ( 5 , − 4 ) (5,-4) ( 5 , − 4 )
Let F = ( 3 e 2 x + 4 y ) i + ( x + 7 y e y ) j , \mathbf{F} = (3e^{2x} + 4y)\mathbf{i} \;+\; \bigl(x + 7y e^y\bigr)\mathbf{j}, F = ( 3 e 2 x + 4 y ) i + ( x + 7 y e y ) j ,
and let C C C P ( 0 , 0 ) P(0,0) P ( 0 , 0 ) Q ( 2 , 2 ) Q(2,2) Q ( 2 , 2 ) R ( 4 , 6 ) R(4,6) R ( 4 , 6 ) S ( 1 , 3 ) S(1,3) S ( 1 , 3 ) P → Q → R → S → P P\to Q\to R\to S\to P P → Q → R → S → P
ベクトル場が保守場（勾配ベクトル場）かの判定
与えられた F = ( 2 x y 3 − y , 3 x 2 y 2 − x ) \mathbf{F} = (2xy^3 - y,\, 3x^2y^2 - x) F = ( 2 x y 3 − y , 3 x 2 y 2 − x )
∂ ∂ y ( 2 x y 3 − y ) と ∂ ∂ x ( 3 x 2 y 2 − x ) \frac{\partial}{\partial y}(2xy^3 - y) \quad\text{と}\quad \frac{\partial}{\partial x}(3x^2y^2 - x) ∂ y ∂ ( 2 x y 3 − y ) と ∂ x ∂ ( 3 x 2 y 2 − x )
を比較すると，両者とも 6 x y 2 − 1 6xy^2 - 1 6 x y 2 − 1 F \mathbf{F} F ϕ ( x , y ) \phi(x,y) ϕ ( x , y ) ∇ ϕ = F \nabla\phi = \mathbf{F} ∇ ϕ = F
ポテンシャル関数 ϕ ( x , y ) \phi(x,y) ϕ ( x , y )
F = ( ϕ x , ϕ y ) \mathbf{F} = \bigl(\phi_x,\;\phi_y\bigr) F = ( ϕ x , ϕ y )
ϕ x = 2 x y 3 − y ⟹ ϕ ( x , y ) = ∫ ( 2 x y 3 − y ) d x = x 2 y 3 − x y + g ( y ) . \phi_x = 2xy^3 - y \quad\Longrightarrow\quad \phi(x,y) = \int (2xy^3 - y)\,dx = x^2y^3 - xy + g(y). ϕ x = 2 x y 3 − y ⟹ ϕ ( x , y ) = ∫ ( 2 x y 3 − y ) d x = x 2 y 3 − x y + g ( y ) .
次に ϕ y \phi_y ϕ y
ϕ y = 3 x 2 y 2 − x + g ′ ( y ) \phi_y = 3x^2y^2 - x + g'(y) ϕ y = 3 x 2 y 2 − x + g ′ ( y )
が与えられるが，これが F \mathbf{F} F 3 x 2 y 2 − x 3x^2y^2 - x 3 x 2 y 2 − x g ′ ( y ) = 0 g'(y) = 0 g ′ ( y ) = 0 g ( y ) g(y) g ( y )
ϕ ( x , y ) = x 2 y 3 − x y \phi(x,y) = x^2y^3 - xy ϕ ( x , y ) = x 2 y 3 − x y
としてよい．
始点・終点でのポテンシャルを評価
線積分 ∫ C F ⋅ d r \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} ∫ C F ⋅ d r
ϕ ( 終点 ) − ϕ ( 始点 ) \phi(\text{終点}) \;-\; \phi(\text{始点}) ϕ ( 終点 ) − ϕ ( 始点 )
で与えられる．
ϕ ( 5 , − 4 ) \phi(5, -4) ϕ ( 5 , − 4 ) ϕ ( 5 , − 4 ) = 5 2 × ( − 4 ) 3 − 5 × ( − 4 ) = 25 × ( − 64 ) + 20 = − 1600 + 20 = − 1580. \phi(5,-4) = 5^2 \times (-4)^3 \;-\; 5\times(-4) = 25 \times (-64) + 20 = -1600 + 20 = -1580. ϕ ( 5 , − 4 ) = 5 2 × ( − 4 ) 3 − 5 × ( − 4 ) = 25 × ( − 64 ) + 20 = − 1600 + 20 = − 1580.
ϕ ( − 13 , − 4 ) \phi(-13, -4) ϕ ( − 13 , − 4 ) ϕ ( − 13 , − 4 ) = ( − 13 ) 2 × ( − 4 ) 3 − ( ( − 13 ) × ( − 4 ) ) = 169 × ( − 64 ) − 52 = − 10816 − 52 = − 10868. \phi(-13, -4) = (-13)^2 \times (-4)^3 \;-\; \bigl((-13)\times(-4)\bigr) = 169 \times (-64) \;-\; 52 = -10816 - 52 = -10868. ϕ ( − 13 , − 4 ) = ( − 13 ) 2 × ( − 4 ) 3 − ( ( − 13 ) × ( − 4 ) ) = 169 × ( − 64 ) − 52 = − 10816 − 52 = − 10868.
従って，
∫ C F ⋅ d r = ϕ ( 5 , − 4 ) − ϕ ( − 13 , − 4 ) = ( − 1580 ) − ( − 10868 ) = 9288. \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = \phi(5, -4)\;-\;\phi(-13, -4) = (-1580) - (-10868) = 9288. ∫ C F ⋅ d r = ϕ ( 5 , − 4 ) − ϕ ( − 13 , − 4 ) = ( − 1580 ) − ( − 10868 ) = 9288.
これが (1) の答えになる．
ベクトル場 F = ( 3 e 2 x + 4 y , x + 7 y e y ) \mathbf{F} = (3e^{2x} + 4y,\; x + 7y e^y) F = ( 3 e 2 x + 4 y , x + 7 y e y ) ∂ ∂ y ( 3 e 2 x + 4 y ) = 4 , ∂ ∂ x ( x + 7 y e y ) = 1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(3e^{2x} + 4y) = 4,\quad \frac{\partial}{\partial x}(x + 7y e^y) = 1. ∂ y ∂ ( 3 e 2 x + 4 y ) = 4 , ∂ x ∂ ( x + 7 y e y ) = 1.
これらは一致しないので，F \mathbf{F} F
経路 C C C
頂点 P → Q → R → S → P P\to Q\to R\to S\to P P → Q → R → S → P C C C
グリーンの定理の適用
C C C D D D
∮ C ( P d x + Q d y ) = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d A ( P = 3 e 2 x + 4 y , Q = x + 7 y e y ) . \oint_C (P\,dx + Q\,dy) \;=\; \iint_D \biggl( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \biggr)\,dA \quad \bigl(P = 3e^{2x}+4y,\; Q=x+7y e^y \bigr). ∮ C ( P d x + Q d y ) = ∬ D ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d A ( P = 3 e 2 x + 4 y , Q = x + 7 y e y ) .
ここで
∂ Q ∂ x = 1 , ∂ P ∂ y = 4 , \frac{\partial Q}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 4, ∂ x ∂ Q = 1 , ∂ y ∂ P = 4 ,
よって被積分関数は
1 − 4 = − 3. 1 - 4 = -3. 1 − 4 = − 3.
すなわち
∮ C F ⋅ d r = ∬ D ( − 3 ) d A = − 3 ∬ D 1 d A = − 3 ( 領域 D の面積 ) . \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; \iint_D (-3)\,dA \;=\; -3 \iint_D 1\,dA \;=\; -3\,(\text{領域 }D\text{の面積}). ∮ C F ⋅ d r = ∬ D ( − 3 ) d A = − 3 ∬ D 1 d A = − 3 ( 領域 D の面積 ) .
四辺形 P Q R S PQRS PQRS
頂点を P ( 0 , 0 ) , Q ( 2 , 2 ) , R ( 4 , 6 ) , S ( 1 , 3 ) P(0,0), Q(2,2), R(4,6), S(1,3) P ( 0 , 0 ) , Q ( 2 , 2 ) , R ( 4 , 6 ) , S ( 1 , 3 ) ( x 1 , y 1 ) = ( 0 , 0 ) (x_1,y_1)=(0,0) ( x 1 , y 1 ) = ( 0 , 0 ) ( x 2 , y 2 ) = ( 2 , 2 ) (x_2,y_2)=(2,2) ( x 2 , y 2 ) = ( 2 , 2 ) ( x 3 , y 3 ) = ( 4 , 6 ) (x_3,y_3)=(4,6) ( x 3 , y 3 ) = ( 4 , 6 ) ( x 4 , y 4 ) = ( 1 , 3 ) (x_4,y_4)=(1,3) ( x 4 , y 4 ) = ( 1 , 3 )
Area ( D ) = 1 2 ∣ x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 − ( y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 x 1 ) ∣ . \text{Area}(D) = \frac{1}{2} \bigl| x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1) \bigr|. Area ( D ) = 2 1 x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 − ( y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 x 1 ) .
実際に計算すると
x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 = 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 = 24 , x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 = 0\cdot2 + 2\cdot6 + 4\cdot3 + 1\cdot0 = 24, x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 = 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 6 + 4 ⋅ 3 + 1 ⋅ 0 = 24 ,
y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 x 1 = 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 + 6 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 = 14 , y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1 = 0\cdot2 + 2\cdot4 + 6\cdot1 + 3\cdot0 = 14, y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3 x 4 + y 4 x 1 = 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 + 6 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 = 14 ,
よって差は 24 − 14 = 10 24 - 14 = 10 24 − 14 = 10
1 2 × 10 = 5. \frac12 \times 10 = 5. 2 1 × 10 = 5.
従って
∮ C F ⋅ d r = − 3 × 5 = − 15. \oint_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} \;=\; -3 \times 5 \;=\; -15. ∮ C F ⋅ d r = − 3 × 5 = − 15.
これが (2) の答えである．
∫ C F ⋅ d r = 9288. \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = 9288. ∫ C F ⋅ d r = 9288.
∫ C F ⋅ d r = − 15. \displaystyle \int_C \mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} = -15. ∫ C F ⋅ d r = − 15.
以上が問題 (1)・(2) の線積分の値となります。
