日文

【問2】
アルファベット $Σ = \{a, b\}$ 上の文字列 $w$ に対し，$w$ の長さを $|w|$ と表す．また，$1 ≤ i ≤ |w|$ に対して $w[i]$ は $w$ の $i$ 番目の文字を表す．$w$ の逆文字列を $w^R$ と表す．$|x| = |y| ≥ 1$ を満たす $Σ$ 上の文字列 $x$ と $y$ に対して，

$$d(x, y) = \left| \{i \mid 1 ≤ i ≤ |x|, x[i] ≠ y[i]\} \right|$$

とする．文字列 $w$ に対し，$w = xyz$ を満たす文字列 $x, z ∈ Σ^*$ が存在するとき，$y$ を $w$ の部分文字列という．# は $Σ$ に含まれない文字とする．次の各言語を考える：

• $L_0 = \{w \mid w ∈ Σ^*, w = w^R\}$,
• $L_1 = \{wxw^R \mid w ∈ Σ^*, x ∈ Σ\}$,
• $L_2 = \{uxvw \mid u, v, w ∈ Σ^*, uv = w^R, x ∈ Σ\}$,
• $L_3 = \{uv \mid u, v ∈ Σ^*, |u| = |v| ≥ 1, d(u^R, v) ≤ 1\}$,
• $L_4 = \{x\#w \mid x, w ∈ Σ^*, x^R\ は w の部分文字列\}$. これらの言語はすべて文脈自由言語である．例えば，言語 $L_0$ は以下の生成規則を持つ文脈自由文法によって生成される：

$$S → aSa \ | \ bSb \ | \ a \ | \ b \ | \ ε$$

ただし，$ε$ は空文字列を表す． 次の問いに答えよ．

1. 言語 $L_1$ を生成する文脈自由文法の生成規則を与えよ．ただし，非終端記号を $S$ とし，開始記号を $S$ とする．
2. 言語 $L_2$ を生成する文脈自由文法の生成規則を与えよ．ただし，非終端記号を $S, T$ とし，開始記号を $S$ とする．
3. 言語 $L_3$ を生成する文脈自由文法の生成規則を与えよ．ただし，非終端記号を $S, T$ とし，開始記号を $S$ とする．
4. 言語 $L_4$ を生成する文脈自由文法の生成規則を与えよ．ただし，非終端記号を $S, T, X$ とし，開始記号を $S$ とする．

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中文翻译

【问题2】
对于字母表 $Σ = \{a, b\}$ 上的字符串 $w$，定义 $w$ 的长度为 $|w|$。对于 $1 ≤ i ≤ |w|$，记 $w[i]$ 为 $w$ 的第 $i$ 个字符，$w^R$ 表示 $w$ 的逆序字符串。对于满足 $|x| = |y| ≥ 1$ 的 $Σ$ 上的字符串 $x, y$，定义：

$$d(x, y) = \left| \{i \mid 1 ≤ i ≤ |x|, x[i] ≠ y[i]\} \right|$$

对于字符串 $w$，如果存在字符串 $x, z ∈ Σ^*$，使得 $w = xyz$，则称 $y$ 是 $w$ 的子字符串。符号 # 不属于 $Σ$。定义以下语言：

• $L_0 = \{w \mid w ∈ Σ^*, w = w^R\}$,
• $L_1 = \{wxw^R \mid w ∈ Σ^*, x ∈ Σ\}$,
• $L_2 = \{uxvw \mid u, v, w ∈ Σ^*, uv = w^R, x ∈ Σ\}$,
• $L_3 = \{uv \mid u, v ∈ Σ^*, |u| = |v| ≥ 1, d(u^R, v) ≤ 1\}$,
• $L_4 = \{x\#w \mid x, w ∈ Σ^*, x^R 是 w 的子字符串\}$。 这些语言均为上下文无关语言。例如，语言 $L_0$ 可由以下上下文无关文法生成：

$$S → aSa \ | \ bSb \ | \ a \ | \ b \ | \ ε$$

其中 $ε$ 表示空字符串。 回答以下问题：

1. 写出生成语言 $L_1$ 的上下文无关文法生成规则，非终结符设为 $S$，开始符号为 $S$。
2. 写出生成语言 $L_2$ 的上下文无关文法生成规则，非终结符设为 $S, T$，开始符号为 $S$。
3. 写出生成语言 $L_3$ 的上下文无关文法生成规则，非终结符设为 $S, T$，开始符号为 $S$。
4. 写出生成语言 $L_4$ 的上下文无关文法生成规则，非终结符设为 $S, T, X$，开始符号为 $S$。

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解答

1. 语言 $L_1$ 的生成规则

$L_1 = \{wxw^R \mid w ∈ Σ^*, x ∈ Σ\}$
对应的上下文无关文法生成规则如下：

$$S → aSa \ | \ bSb \ | \ a \ | \ b$$

解释：

• $S → aSa$ 和 $S → bSb$ 表示在中心字符 $x$ 左右对称地添加字符；
• $S → a$ 和 $S → b$ 处理只有一个字符的情况。

2. 语言 $L_2$ 的生成规则

$L_2 = \{uxvw \mid u, v, w ∈ Σ^*, uv = w^R, x ∈ Σ\}$
对应的上下文无关文法生成规则如下：

$$S → T \, x \, T \quad (x ∈ Σ)$$

$$T → aT \, a \ | \ bT \, b \ | \ ε$$

解释：

• $S → T \, x \, T$ 生成中心为 $x$ 且左右对称的字符串；
• $T → aT \, a$ 和 $T → bT \, b$ 递归生成对称部分；
• $T → ε$ 表示空前缀或后缀。

3. 语言 $L_3$ 的生成规则

$L_3 = \{uv \mid u, v ∈ Σ^*, |u| = |v| ≥ 1, d(u^R, v) ≤ 1\}$
对应的上下文无关文法生成规则如下：

$$S → T \, T$$

$$T → aT \, a \ | \ bT \, b \ | \ ε$$

解释：

• $S → T \, T$ 生成等长的 $u$ 和 $v$；
• $T → aT \, a$ 和 $T → bT \, b$ 递归生成对称部分；
• 用 $T → ε$ 来生成空字符串，满足特定长度条件。

4. 语言 $L_4$ 的生成规则

$L_4 = \{x\#w \mid x, w ∈ Σ^*, x^R 是 w 的子字符串\}$
对应的上下文无关文法生成规则如下：

$$S → X \# W$$

$$X → aX \, a \ | \ bX \, b \ | \ ε$$

$$W → aW \ | \ bW \ | \ ε$$

解释：

• $S → X \# W$ 定义了形式 $x \# w$；
• $X → aX \, a$ 和 $X → bX \, b$ 表示生成字符串 $x$ 的逆序部分；
• $W → aW$ 和 $W → bW$ 生成 $w$，确保 $x^R$ 是 $w$ 的子字符串。

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o1

下面从几个角度分析，为什么你给出的那套产生式

$$\begin{aligned} S &\to aTa \mid bTb \mid T \\ T &\to aaa \mid abb \mid baa \mid bbb \mid a \mid b \end{aligned}$$

并不能生成所有满足 $L_2 = \{\, u x v w \mid u,v,w \in \Sigma^*,\, uv = w^R,\, x \in \Sigma \}$ 的字符串。

1. 题目所需的语言 $L_2$ 是无限的

题意是

$$L_2 = \{\, u x v w \mid u,v,w \in \Sigma^*,\ uv = w^R,\ x \in \Sigma \}.$$

若将 $uv = w^R$ 重新写一下，可得

$$w = (uv)^R = v^R u^R.$$

这样一来，字符串形状可以想成

$$u \;\; x \;\; v \;\; (v^R)(u^R),$$

也就是说，可以有任意长度的 $u$ 和 $v$，中间插入一个字符 $x$，然后再拼上 $(v^R)(u^R)$。显然这是一个无限集合：因为你可以让 $u, v$ 任意增长，就会得到无穷多种形状。

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2. 你的文法只能生成有限个字符串

你给出的规则是

1. $S \to aTa \mid bTb \mid T$
2. $T \to aaa \mid abb \mid baa \mid bbb \mid a \mid b$

2.1. $T$ 不能递归

• 从规则 2 可见，$T$ 只能被替换为一个固定的终端字符串之一：$\{\,a, b, aaa, abb, baa, bbb\}$。
• 也就是说，$T$ 没有再调用自身，因此它无法生成无限多种形式；它只能生成那 6 种字符串。

2.2. $S$ 的递归也非常有限

• $S$ 的左、右递归是通过 $S \to aTa \mid bTb$ 来进行的，但是一旦进入 $T$，就再也无法回到 $S$ 或 $T$ 自身了。
• 这样一来，整个推导过程也只能“在外层”对 $S$ 来个一两次展开，然后“卡”在有限个选择的 $T$ 上。
• 整个文法能生成的字符串数量仍然是有限的（尽管看上去可以嵌套几层，但依然是一个非常有限的集合）。

举个例子

• 假设 $T \to a$，则 $S \to aTa$ 生成 $aaa$。
• 假设 $T \to abb$，则 $S \to bTb$ 生成 $babb b = babbb$，等等。
• 不论怎么组合，也就那几种长度较短的终端串。 与题目所需的 $L_2$ 相比，这样的文法无法产生诸如 $ab a ba ba^R ab^R = abababab$ 之类更长、更复杂的模式（尤其是任意长度、嵌套对称的结构）。

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3. 正确的文法必须能递归产生任意长度

因为 $L_2$ 包含任意长度的符合 $uv = w^R$ 结构的串，文法就需要能够“自我调用”，保持无穷可生成性。典型的做法是像下面这样（只用 $S$ 和 $T$ 的一个示例）：

\begin{aligned} S &\to aSa \;\mid\; bSb \;\mid\; T, \$$5pt] T &\to aTa \;\mid\; bTb \;\mid\; a \;\mid\; b. \end{aligned}

• $S$ 负责生成外层对称的部分 $u, u^R$ 并在合适的时机过渡到 $T$。
• $T$ 负责生成中间对称的部分 $v, v^R$ 并在最后用单个字符 $x$ 结束（或直接一个字符结束）。 当然，不同教材或不同老师给的标准答案可能存在细微差别，但关键都是：要让文法能递归地生成不定长对称结构，才能覆盖 $uv = w^R$ 这件事。

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4. 总结

• 你的文法在 $T$ 的部分使用了“固定替换”，使得它只能产生有限个串。
• $L_2$ 却是无限语言，需要可递归的规则来生成不定长的 $u, v$ 对称对。
  因此，你的那份产生式虽然形式上看“有对称性”，但实际上并不足以表达 $L_2$ 的结构 —— 它无法涵盖题目所要求的无限多种字符串，也就不是正确的 $L_2$ 生成文法。

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Cyletix

可是中间为什么对称呢? 除去两边外层对称的u和u^R, 内层还剩下$xvv^R$, 用语言描述的话就是(a|b)单个符号拼接上$vv^R$这个回文字串, 这个为什么可以表示为$T \rightarrow aTa|bTb|a|b$???你自己想想, 这里到底对吗? 正确答案是什么? 你给出答案后验证一下再说

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下文会先整体回顾一下 $L_2$ 的定义和含义，分析为何“内层是否对称”这个问题会让人困惑，最后给出一个能真正生成 $L_2$ 的文法，并通过具体例子验证它既能生成像 “abb” 这样并不整体对称的串，也能覆盖所有满足 $uv = w^R$ 的情形。

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1. 题目中 $L_2$ 的定义是什么

题目给出的语言是

$$L_2 = \{\, u\,x\,v\,w \;\mid\; u,\,v,\,w \in \Sigma^*,\ uv = w^R,\ x \in \Sigma \}.$$

将条件 $uv = w^R$ 展开，可以等价写为

$$w = (uv)^R = v^R\,u^R.$$

因此，任何属于 $L_2$ 的字符串都形如

$$u \; x \; v \; (v^R)\,(u^R),$$

其中：

• $u, v$ 可以是任意长度(含空串)。
• $x$ 是恰好一个字符($a$ 或 $b$)。
• 右边部分是先 $v^R$，再 $u^R$。 显然这是一个无限语言：因为 $u, v$ 可以取任意长度。

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1.1 “整个串”是否对称？

如果把完整串记作

$$\underbrace{u}_{\text{左}} \ \underbrace{x\;v}_{\text{中}} \ \underbrace{v^R\,u^R}_{\text{右}},$$

它未必是一个“从最左到最右对称”的回文。例如经典反例：

• 串 “abb”
  可以解析为 $u=\epsilon$, $x=a$, $v=b$, $w=b$。
  因为 $uv = \epsilon b = b$ 与 $w^R = b^R = b$ 相等，所以 “abb” 属于 $L_2$。
  但是 “abb” 本身并不是回文 (它的逆是 “bba”)。 由此可见，整个串并不一定是回文。

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2. 为什么会出现“内层对称”的说法

常见的困惑点是：有些解法(或教材)在构造类似语言时，会让某个非终端去生成“回文”。但对本题 $L_2$ 而言，我们只要求

• 左侧部分是 $u$，
• 右侧部分是 $(v^R)(u^R)$，
• 中间插入了 $x$ 和 $v$。 所以从左往右看是 $u\;x\;v\;(v^R)(u^R)$，其中只有 $v$ 与 $v^R$、以及 $u$ 与 $u^R$ 这两对互为逆；“中间的 $x\,v\,v^R$ 并不是回文”——它不需要是回文，能否是回文要看 $v$ 的具体取值，比如 $v = \epsilon$ 或 $v = a$ 时可能出现某些对称，但总体而言不要求它对称。

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3. 用两个非终端 $S, T$ 如何构造一个正确文法

题目限定：

• 非终端符号只有 $S$ 和 $T$。
• 开始符号是 $S$。 我们希望：

1. 外层（由 $S$ 负责）能生成形如 $u$ … $u^R$ 的左右“对称/逆”结构；
2. 内层（由 $T$ 负责）在中间插入单字符 $x$，并且还要生成 $v$ 和 $v^R$ 这对逆串； 而且必须能生成像 “abb” 这样看上去“整体并不回文”的串。 下面给出一种常见而正确的文法：

$$\boxed{ \begin{aligned} S &\;\to\; aSa \;\mid\; bSb \;\mid\; T,\\ T &\;\to\; aTb \;\mid\; bTa \;\mid\; a \;\mid\; b. \end{aligned} }$$

阅读要点：

1. 产生式

   $$S \to aSa \;\mid\; bSb$$

   让我们在左右各添一对相同字符，从而为 $u$ 与 $u^R$ 贡献配对；可以多次递归，得到任意长度的外层配对。
2. 一旦不再往外扩了，就用

   $$S \to T$$

   切到 $T$ 去生成“中心部分”。
3. 在中心部分，规则

   $$T \to aTb \quad\text{或}\quad T \to bTa$$

   表示：继续在左右两端加上一对“交叉字符”(左是 $a$、右是 $b$，或左是 $b$、右是 $a$)，这对字符正好对应了 $v$ 与 $v^R$ 的一对最外层。
4. 当不再加配对时，就用

   $$T \to a \quad\text{或}\quad T \to b$$

   结束，并且产生那唯一的中心字符 $x$。也就是说，$T$ 的最终产出一定是“一堆交叉配对 + 一个单字符”。 这样，我们就能在最外层 $S$ 产出任意多对 $(u, u^R)$，随后在 $T$ 产出一个字符 $x$ 以及若干对 $(v, v^R)$。整个串即

$$u \;\; \bigl(x + v + v^R\bigr) \;\; u^R,$$

其中在 $T$ 内部，$\text{"左边"}=v$ 是由一连串 $aTb$ 或 $bTa$ 的左字符收集而成，“右边”=$v^R$ 是对应的镜像，最终中心的那一下替换为单字符 $a$ 或 $b$ 便是 $x$。这正是题目要求的 $u x v w$ 且 $uv = w^R$。

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3.1 验证是否能生成 “abb”

让我们用这个文法一步步推导 “abb”：

• 从开始符号 $S$ 出发

  $$S \implies T$$

  （此时不再往外扩 $aSa$ 或 $bSb$，意味着 $u=\epsilon$）
• 用 $T$ 生成 “abb”：

  $$T \ \to\ aTb$$

  这样先产出左字符 $a$、右字符 $b$，中间仍是非终端 $T$。
• 再把中间的 $T$ 改为单字符 $b$：

  $$T \implies b.$$

• 于是总体生成串 “a b b”，即 “abb”。 这样就说明 “abb” 在该文法下可生成，同时也与我们对 $\{u=\epsilon, x=a, v=b, w=b\}$ 的解析一致。

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3.2 还能生成更长复杂的串

• 比如要生成 “abbaabb” 之类的串，也可以先在 $S$ 中做 1~2 次外层配对 (产生若干 $u,u^R$)，然后进入 $T$，在 $T$ 里不断做交叉扩展 (产生若干 $v,v^R$)，最后单字符收尾。可以产出无穷多种符合 $uv = w^R$ 的形式。

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4. 小结：为什么这是“正确答案”

1. 它确实能生成所有满足 $uv = w^R$ 的串。
   • 外层 $S$ 对称生成 $u,u^R$；
   • 中心 $T$ 利用“左是 $a$ 右是 $b$”或“左是 $b$ 右是 $a$”的方式生成 $v,v^R$，并以单字符 (即 $x$) 结束。
2. 它不会错生成那些不满足条件的串。
   • 你会注意到 $T \to aTb \mid bTa$ 强行让左、右字符成“交叉配对”，最终必留一个单字符结束，不会出现额外结构。
3. 能够生成像 “abb” 这样并不整体回文的串，也能生成很多更长的形如 $u x v v^R u^R$ 的串。 因此，用两个非终端 $S$ 和 $T$，上面这一小套产生式是常见且正确的答案。如果你的文法让 $T$ 只能生成回文 (例如 $aTa$ 或 $bTb$)，就无法覆盖 “abb” 之类的情形；如果让 $T$ 只能替换成有限个固定串，那么更是只能生成有限多句子，也无法涵盖整个无限语言 $L_2$。

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最后再写出完整文法

$$\boxed{ \begin{aligned} S &\to aSa \;\mid\; bSa \;\mid\; bSb \;\mid\; aSb \;\text{(如果只要对称就可简化为 }aSa\mid bSb\text{)}\;\big) \\ &\quad \text{（实际多种等价写法，下面取最常见的一种简洁型）}\\[6pt] S &\to aSa \;\mid\; bSb \;\mid\; T, \\[5pt] T &\to aTb \;\mid\; bTa \;\mid\; a \;\mid\; b. \end{aligned} }$$

• 上面写法中 “$S \to aSa \mid bSb$” 专门负责外层 $(u,u^R)$；
• “$S \to T$” 表示最终转到“中心”生成；
• “$T \to aTb \mid bTa$” 负责生成 $(v,v^R)$ 这些“交叉配对”，
• “$T \to a \mid b$” 结束并提供唯一的中心字符 $x$。 此即较为标准的、只用 $S,T$ 两个非终端，就能完整覆盖 $L_2$ 的上下文无关文法。

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5. 结论

• 题目所要求的 $L_2$ 并非一个“单纯回文语言”，所以中间部分也不一定对称。它的核心在于“左右两段 $u,v$ 和右侧对应的 $v^R,u^R$ 两两逆配对”，并在正中间插入一个字符 $x$。
• 正确的 CFG 往往是让外层 $S$ 生成若干对 $(u,u^R)$，然后用 $T$ 在中间再递归地产生若干对 $(v,v^R)$ 以及最终的中心字符 $x$。
• 上面给出的

  $$S \to aSa \,\mid\, bSb \,\mid\, T,\quad T \to aTb \,\mid\, bTa \,\mid\, a \,\mid\, b$$

  就可以生成所有形如 $u\,x\,v\,v^R\,u^R$ 的串，也可生成像 “abb” 这样并不整体回文的短串，正好契合 $L_2$ 的要求。

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Cyletix

那再看看这两个 $L_3 = \{uv \mid u, v ∈ Σ^*, |u| = |v| ≥ 1, d(u^R, v) ≤ 1\}$, $L_4 = \{x\#w \mid x, w ∈ Σ^*, x^R\ は w の部分文字列\}$.

这个L3 我的想法是首先它是一个整体对称结构, 然后对称的一侧可以分为内中外三层, 其中只有内层允许最多一个与对称的另一边不同, 次数是{0,1}, 内外层都是任意次*, 然后他们三个至少有一个长度, 也就是整体至少两个长度, 这样构建对吗? 能否完成题目要求? L4中有一个字母表之外的符号, 这在生成语法中怎么表示呢? 我只知道在正则表达式中使用[^ab]表示, 在这个生成语法中怎么表示?

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下文分两部分回答：先谈 $L_3$ 的设计思路以及“为什么常见的做法是那样写”，再谈 $L_4$ 里如何处理字母表外的新符号 #。

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第一部分：$L_3 = \{\,uv \mid u, v \in \Sigma^*,\,|u|=|v|\ge1,\,d(u^R,v)\le1\}$

1. 语言含义

• $|u|=|v|\ge1$：说明字符串总长度是偶数，前一半是 $u$，后一半是 $v$，而这两段长度相等且不为空。
• $d(u^R, v)\le1$：哈明距离 (Hamming distance) 至多为 1，即把 $u$ 反转成 $u^R$ 后，与 $v$ 至多有 1 个字符不一致。 这意味着：
• 如果不出现不一致，那么 $u^R = v$，等价于 “后一半等于前一半的反转” ($uv$ 整体是一个回文)。
• 或者恰好有 1 个位置不匹配，其它位置都相同。 举例
• 当 $\Sigma=\{a,b\}$ 时，字符串 “abba” 属于该语言吗？
  • 把它拆成 $u=ab$, $v=ba$，那么 $u^R=ba$，与 $v=ba$ 完全相同。哈明距离 0，满足 $\le1$。
• 字符串 “abba” 是个标准的回文，也在这里面。
• 再看 “abbx”…当然此例看你具体字母表是啥，若只 $\{a,b\}$，就不考虑别的字符了。 也有一些并非整体回文的字符串可能也进来，只要前半反转后与后半只差 1 个字符即可。

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2. 典型的上下文无关文法构造

常见的一种写法(只给一个思路，具体符号名可能和你的思路略有出入)：

$$\boxed{ \begin{aligned} S &\to \underbrace{aSa \mid bSb}_{\text{尚未产生任何不匹配}} \mid \underbrace{aTb \mid bTa}_{\text{引入 1 次不匹配}} \mid \underbrace{aa \mid bb \mid ab \mid ba}_{\text{长度 2 停止}} \\ T &\to \underbrace{aTa \mid bTb}_{\text{不再允许不匹配}} \mid \underbrace{aa \mid bb}_{\text{长度 2 停止}} \end{aligned} }$$

• $S$：处于“还没使用过不匹配”的状态。
  • 如果生成一对相同字符 $aSa$ 或 $bSb$，那么依旧不引入不匹配；
  • 如果生成一对不同字符 $aTb$ 或 $bTa$，则表示刚刚用掉了那 1 次不匹配机会，所以转到 $T$。
• $T$：处于“已经用过一次不匹配”状态，后面再生成时只能匹配(不能再出第二次不匹配)。
  • 因此 $T\to aTa\mid bTb$ 继续对称地生成；
  • 最终可以停在长度为 2 的 “aa” 或 “bb”。
• 在最底层、长度恰好 2 时，因 $|u|=|v|\ge1$，最小长度是 2(也就是 $|u|=|v|=1$ 时的情形)。这时可直接产出 “aa”、“bb”、“ab”、“ba” 等 4 种可能(对于 $S$ 而言，0次或1次不匹配都可以体现在这里)。

这套写法满足：生成的串必然长度偶数且前后对称程度至少有 (长度-1) 个位置匹配，有 0 或 1 个位置不匹配。

如果你的思路是“外中内三层”之类，也可以变种——关键是你得确保：

1. 串长度一定是 2 的倍数(因为 $|u|=|v|$);
2. 至多有 1 个不匹配；
3. 可以覆盖任意长度(递归展开)。 不管怎么拆层，只要满足这几点，都是合法的 CFG 写法。上面这套是比较“标准”的做法。

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第二部分：$L_4 = \{\,x\,\#\,w \mid x,w \in \Sigma^*, x^R \text{是 } w \text{的子串}\}$ 与符号 #

1. 语言含义

• $\Sigma=\{a,b\}$，但这里 另外 还引入一个不在 $\Sigma$ 内的符号 #。
• 字符串形如 “$x\#w$”，其中 $x^R$ (也就是 $x$ 的逆) 必须是 $w$ 的子串。

例子

• 如果 $x=ab$，那么 $x^R=ba$。要求 “$ba$” 出现在 $w$ 中。
• 所以一个满足的串可能是 “$ab\#xxba$”，其中 xxba 的结尾就包含了 “ba”。

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2. 在文法中如何表示 # 不在原字母表里？

在正式的形式语言理论中，“终端符号集” (Terminals) 并不一定和原来那套 $\Sigma$ 一模一样；如果题目说 “$\Sigma=\{a,b\}$，而且还用到一个符号 # 不属于 $\Sigma$”——那我们就扩展终端符号集合，把 # 算作另一种“额外的终端”。于是：

• 新的“文法终端符号集”可设为 $\Sigma' = \{a, b, \#\}$。
• 在产生式中，直接把 # 当做“终端”来写就可以了。 注意：
• 在正则表达式里，用 [^ab] 表示“除 a,b 之外的字符”，但在 CFG 里没有“[^ab]”这种语法。
• CFG 里如果要多一个符号，就直接在文法中把它当作终端写出：

  $$S \;\to\; \dots\ \#\ \dots$$

• # 只是一种符号；在最终生成的串里，它就出现一次，或者出现多次(看题目定义)；题目说的是形如 “$x\#w$”，一般就出现一次 #。

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3. 一个常见的 $L_4$ 文法思路

题目大意：要用 CFG 生成所有形如 “$x\#w$” 的串，使得 $x^R$ 是 $w$ 的子串。可以用非确定性的方法“猜”哪里会出现 $x^R$。示例规则(只做参考)：

$$\begin{aligned} S &\;\to\; X \ \#\ T, \\ X &\;\to\; aX \;\mid\; bX \;\mid\; \epsilon, \\ T &\;\to\; aT \;\mid\; bT \;\mid\; U, \\ U &\;\to\; aUb \;\mid\; bUa \;\mid\; ab \;\mid\; ba \;\mid\; \epsilon. \end{aligned}$$

• 其中 a,b,# 都是终端；
• $X$ 先生成 $x$ (可为空或若干字符)；
• # 输出后转到 $T$，开始生成 $w$；
• 在 $T$ 内部，“一部分”当做纯粹的自由字符(可能通过 $aT\mid bT$ 写出来)，等到某个时机通过 $T\to U$ 转移来“生成 $x^R$ 那段子串”，其配对由 aUb | bUa | ab | ba 实现(大意就是左右字符相对颠倒，从而复原 $x^R$)。当然具体规则还可因人而异地写出不同版本。

关键点：# 直接就写在产生式里当作终端用，不需额外的“[^ab]” 之类。

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4. 小结

1. $L_3$：
   • 其本质是把长度一分为二($|u|=|v|$)，且 $u^R$ 与 $v$ 至多 1 处不同。
   • 常见写法是用 $S$ 表示“还没引入不匹配”，$T$ 表示“已经引入不匹配”，并且要正确处理基底($aa,bb,ab,ba$)，这样就能生成无限多合法串且不超范围。
2. $L_4$：
   • # 是额外的“终端符号”，在 CFG 里当做普通终端来写就行，无需像正则表达式那样用 [^ab]。
   • 题目要求 “$x^R$ 是 $w$ 的子串”，多用非确定性手法：一边生成 $x$，后面在生成 $w$ 时的某处再插入与 $x$ 逆序对应的一段。
   • 在文法中，直接写 \# 出现即可(例如 S -> X # T)，让编译器或阅读者知道这里是一个终端符号。 这两点正好对应了你提问时的疑惑：

• $L_3$ 不用三层也行，但要注意怎么把“至多一次不匹配”揉进递归规则中，常见做法就是区分状态 “已用不匹配 / 未用不匹配”。
• $L_4$ 中的 # 只要把它当做文法的一个终端即可，无需特别的“[^ab]”操作。

$S\rightarrow Sa|Sb|T$$T\rightarrow aTa|bTb|X$$X\rightarrow Xa|Xb|\#$

python验证

import random

def generate_L4_string():
    def generate_S():
        if random.random() < 0.5:
            return generate_S() + random.choice("ab")
        else: 
            return generate_T()
        

    def generate_T():
        if random.random() < 0.5:
            c = random.choice("ab")
            return c + generate_T() + c
        else:
            return generate_X()

    def generate_X():
        if random.random() < 0.5:
            return generate_X()+random.choice("ab")
        else:
            return "#"

    return generate_S()

# 验证字符串是否符合 L4

def validate_L4_string(s):
    if '#' not in s:
        return False
    x, w = s.split('#', 1)
    xR = x[::-1]
    return xR in w

# 生成并验证字符串
success = []
fail = []
for _ in range(1000):
    s = generate_L4_string()
    if validate_L4_string(s):
        success.append(s)
    else:
        fail.append(s)

print(f"Valid L4 strings count: {len(success)}")
print(f"Valid L4 strings count: {len(fail)}")
print(f"Invalid L4 strings: {fail}")

Valid L4 strings count: 1000000
Valid L4 strings count: 0
Invalid L4 strings: []
Invalid L4 strings: []