解析学・微積分 (Analysis and Calculus)

1. 次の積分を計算せよ：

   $$I = \int_{0}^{\infty} x^5 \exp(-x^4) \, dx$$

   ただし、以下を証明なく用いてよい：

   $$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2) \, dx = \sqrt{\pi}$$

2. 次の微分方程式の一般解を求めよ：

   $$\frac{dy}{dx} + y = x \sinh(x)$$

3. 複素関数 $f(z) = \frac{1}{z^4 + 1}$ を考える。以下に答えよ：

   1. $f(z)$ の極を全て求めよ。
   2. $C$ を図示した半円とし、$R > 1$ の場合、複素積分 $\int_C f(z) \, dz$ を計算せよ。

4. 积分の計算
   次の積分を計算する：

   $$I = \int_{0}^{\infty} x^5 \exp(-x^4) \, dx$$

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解答：
変数変換 $t = x^4$ とすると、$dt = 4x^3 dx$ より $x^3 dx = dt/4$。被積分関数は $x^5 \exp(-x^4) = x^2 \cdot x^3 \exp(-x^4)$ となるため、

$$I = \int_{0}^{\infty} t^{1/2} \exp(-t) \cdot \frac{dt}{4} = \frac{1}{4} \int_{0}^{\infty} t^{1/2} e^{-t} dt$$

これはガンマ関数 $\Gamma(3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$ を用いて、

$$I = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{\pi}}{2} = \frac{\sqrt{\pi}}{8}$$

答え：

$$I = \boxed{\dfrac{\sqrt{\pi}}{8}}$$

2. 微分方程式の一般解
   次の微分方程式を解く：

   $$\frac{dy}{dx} + y = x \sinh(x)$$

   解答：
   積分因子 $\mu(x) = e^x$ を掛けると、

   $$e^x \frac{dy}{dx} + e^x y = x e^x \sinh(x)$$

   左辺は $\frac{d}{dx}(e^x y)$ となる。右辺を計算するため、$\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ を代入し、

   $$\int x \sinh(x) e^x dx = \frac{1}{2} \int x(e^{2x} - 1) dx$$

   部分積分を行い、解を求めると、

   $$y = e^{-x} \left( \frac{1}{2} \left( \frac{x}{2} e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} - \frac{x^2}{2} \right) + C \right)$$

   整理して、
   答え：

   $$y = \boxed{\left( \dfrac{x}{4} - \dfrac{1}{8} \right) e^x + \left( C - \dfrac{x^2}{4} \right) e^{-x}}$$

3. 複素関数の極と積分
   (i) 極の特定
   関数 $f(z) = \frac{1}{z^4 + 1}$ の極は、$z^4 = -1$ の解である。
   解は $z = e^{i(\pi/4 + k\pi/2)}$ （$k = 0, 1, 2, 3$）、すなわち

   $$z = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2} \pm i \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

   答え：
   極は

   $$\boxed{z = e^{i\pi/4},\ e^{i3\pi/4},\ e^{i5\pi/4},\ e^{i7\pi/4}}$$

   (ii) 複素積分の計算
   上半平面の半円周 $C$ に沿う積分を留数定理で計算する。上半平面内の極は $e^{i\pi/4}$ と $e^{i3\pi/4}$ の2つ。各極の留数は

   $$\text{Res}(f, e^{i\pi/4}) = \frac{1}{4e^{i3\pi/4}}, \quad \text{Res}(f, e^{i3\pi/4}) = \frac{1}{4e^{i\pi/4}}$$

   留数の和は $-\frac{i}{2\sqrt{2}}$。積分値は

   $$\int_C f(z) dz = 2\pi i \cdot \left( -\frac{i}{2\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$$

   答え：

   $$\boxed{\dfrac{\pi}{\sqrt{2}}}$$