問1

以下の状態遷移図を持つ決定性有限オートマトンを $M = (K, \Sigma, \delta, q_0, F)$ とする.

• $K = \{q_0, q_1, \dots, q_6\}$, 状態集合
• $\Sigma = \{0\}$,
• $\delta: K\times\Sigma\to K$は遷移関数
• $q_0$ は初期状態,
• $F = \{q_2\}$ は最終状態集合.

\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >=1pt, auto, node distance=1.5cm, thick]

  % Define the states
  \node (q2) at (180:1.5cm) [circle, draw, double] {$q_2$}; % q2 at 180° (leftmost point)

  % Define the pentagon nodes using polar coordinates around q2
  \foreach \i in {1, 2, 3, 4} {
    \node (q\the\numexpr\i+2\relax) at ({180 - 72*\i}:1.5cm) [circle, draw] {$q_{\the\numexpr\i+2\relax}$};
  }
  \node (q1) [circle, draw, left of=q2] {$q_1$};
  \node (q0) [circle, draw, left of=q1] {$q_0$};

  % Draw the transitions
  \path (q0) edge node {0} (q1)
        (q1) edge node {0} (q2)
        (q2) edge node {0} (q3)
        (q3) edge node {0} (q4)
        (q4) edge node {0} (q5)
        (q5) edge node {0} (q6)
        (q6) edge node {0} (q2);

  % Start state arrow
  \draw[->] (-5.5, -1) -- (q0);

\end{tikzpicture}
\end{document}

このオートマトン $M$ に基づいて、決定性有限オートマトン $\tilde{M} = (\tilde{K}, \tilde{\Sigma}, \tilde{\delta}, \tilde{q_0}, \tilde{F})$ を、

$$\tilde{K} = K \times K, \ \tilde{\Sigma} = \{0, 1\}, \ \tilde{q_0} = (q_0, q_0), \ \tilde{F} = \{(q_2, q_2)\},$$

$$\tilde{\delta}((q, q'), a) = \begin{cases} (\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 0 のとき, \\ (\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 1 のとき \end{cases}$$

と定義する。入力文字列 $10$ に対するオートマトン $\tilde{M}$ の状態系列は

$$(q_0, q_0) \to (q_1, q_2) \to (q_2, q_3),$$

遷移先状態はその最後の状態 $(q_2, q_3)$ であることに注意せよ。以下の各問いに答えよ。

1. 入力文字列 $01101$ に対するオートマトン $\tilde{M}$ の状態系列を記せ。
2. $n (≥ 1)$ が $5$ の倍数のとき、入力文字列 $1^n$ に対するオートマトン $\tilde{M}$ の遷移先状態が $(q_5, q_5)$ となることを示せ。
3. 長さ $2$ 以上の入力文字列 $w ∈ \{0, 1\}^*$ に対するオートマトン $\tilde{M}$ の遷移先状態を $(q_{iw}, q_{jw})$ とする。$iw, jw ∈ \{2, 3, 4, 5, 6\}$ を、$\#_0(w), \#_1(w)$ を用いた式で表せ。ただし、$\#_a(w)$ は文字列 $w$ に現れる文字 $a$ の個数を表す。
4. オートマトン $\tilde{M}$ が受理する言語は以下であることを示せ。ただし、$x \mod y$ は $x$ を $y$ で割ったときの余りを表す。

$$\{w \in \{0, 1\}^* | \#_0(w) \mod 5 = 2, \#_1(w) \mod 5 = 0\}$$

中文翻译

定义以下状态转移图的确定性有限自动机 $M = (K, \Sigma, \delta, q_0, F)$：

• $K = \{q_0, q_1, \dots, q_6\}$，状态集合
• $\Sigma = \{0\}$，输入字母表
• $\delta: K \times \Sigma \to K$ 为状态转移函数
• $q_0$ 是初始状态
• $F = \{q_2\}$ 是终态集合

\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}[->, shorten >=1pt, auto, node distance=1.5cm, thick]

  % Define the states
  \node (q2) at (180:1.5cm) [circle, draw, double] {$q_2$}; % q2 at 180° (leftmost point)

  % Define the pentagon nodes using polar coordinates around q2
  \foreach \i in {1, 2, 3, 4} {
    \node (q\the\numexpr\i+2\relax) at ({180 - 72*\i}:1.5cm) [circle, draw] {$q_{\the\numexpr\i+2\relax}$};
  }
  \node (q1) [circle, draw, left of=q2] {$q_1$};
  \node (q0) [circle, draw, left of=q1] {$q_0$};

  % Draw the transitions
  \path (q0) edge node {0} (q1)
        (q1) edge node {0} (q2)
        (q2) edge node {0} (q3)
        (q3) edge node {0} (q4)
        (q4) edge node {0} (q5)
        (q5) edge node {0} (q6)
        (q6) edge node {0} (q2);

  % Start state arrow
  \draw[->] (-5.5, -1) -- (q0);

\end{tikzpicture}
\end{document}

基于此自动机 $M$，定义确定性有限自动机 $\tilde{M} = (\tilde{K}, \tilde{\Sigma}, \tilde{\delta}, \tilde{q_0}, \tilde{F})$，如下：

$$\tilde{K} = K \times K, \ \tilde{\Sigma} = \{0, 1\}, \ \tilde{q_0} = (q_0, q_0), \ \tilde{F} = \{(q_2, q_2)\},$$

$$\tilde{\delta}((q, q'), a) = \begin{cases} (\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 0 \text{ 时}, \\ (\delta(q, 0), \delta(q', 0)) & a = 1 \text{ 时} \end{cases}$$

对于输入字符串 $10$，自动机 $\tilde{M}$ 的状态序列为：

$$(q_0, q_0) \to (q_1, q_2) \to (q_2, q_3),$$

最终状态为 $(q_2, q_3)$。回答以下问题：

1. 给出输入字符串 $01101$ 在自动机 $\tilde{M}$ 上的状态序列。
2. 证明当 $n (≥ 1)$ 是 $5$ 的倍数时，输入字符串 $1^n$ 在自动机 $\tilde{M}$ 上的最终状态为 $(q_5, q_5)$。
3. 对于长度 $≥ 2$ 的字符串 $w ∈ \{0, 1\}^*$，自动机 $\tilde{M}$ 的最终状态记为 $(q_{iw}, q_{jw})$，其中 $iw, jw ∈ \{2, 3, 4, 5, 6\}$。请用字符串 $w$ 中 $0$ 和 $1$ 的个数（即 $\#_0(w)$ 和 $\#_1(w)$）表示 $iw$ 和 $jw$。
4. 证明自动机 $\tilde{M}$ 接受的语言是：

$$\{w \in \{0, 1\}^* | \#_0(w) \mod 5 = 2, \#_1(w) \mod 5 = 0\}$$

其中 $x \mod y$ 表示 $x$ 除以 $y$ 的余数。

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o1

先にことわり
題意をよく読むと，「入力が $\texttt{0}$ のときは元のオートマトン $M$ の“1ステップ”遷移を両座標ともに踏む」「入力が $\texttt{1}$ のときは，第一座標は“1ステップ”，第二座標は“2ステップ”進む」という形になっていることが分かります。実際，問題文にある

入力文字列 $\texttt{10}$ に対する状態遷移が

$$(q_0,q_0)\;\xrightarrow{\;\texttt{1}\;}\;(q_1,q_2)\;\xrightarrow{\;\texttt{0}\;}\;(q_2,q_3)$$

という例がその証拠です。もし「$\texttt{1}$ を読むと両座標ともに “同じステップ” 進む」という定義であれば，第一座標・第二座標が異なる状態に分かれるはずがありません。ところが実際は

• 第一座標は「1 ステップ進む」($q_0 \to q_1$)
• 第二座標は「2 ステップ進む」($q_0 \to q_1 \to q_2$)
  という動きをしているからこそ，$(q_0,q_0) \xrightarrow{\texttt{1}} (q_1,q_2)$ になっています。

同様に，$\texttt{0}$ を読むと「両座標とも 1 ステップ進む」動きになります。元のオートマトン $M$ では

$$q_0 \xrightarrow{0} q_1 \xrightarrow{0} q_2 \xrightarrow{0} q_3 \xrightarrow{0} q_4 \xrightarrow{0} q_5 \xrightarrow{0} q_6 \xrightarrow{0} q_2 \xrightarrow{0}\dots$$

という 1 ステップ遷移のサイクルがあり，$q_2 \to q_3 \to q_4 \to q_5 \to q_6 \to q_2$ の部分は「長さ 5 のループ」を形成しています。

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1. 入力文字列 $\texttt{01101}$ に対する状態系列

与えられた規則

• $\texttt{0}$ を読む $;\to;) $\bigl(\delta(q,0),\,\delta(q',0)\bigr)$
  • すなわち「両座標とも1ステップ進む」
• $\texttt{1}$ を読む $;\to;) $\bigl(\delta(q,0),\,\delta(\delta(q',0),0)\bigr)$
  • すなわち「第一座標は1ステップ，第二座標は2ステップ進む」

という解釈で，$\tilde{M}$ 上の状態遷移を追うと次のようになります。入力 $\texttt{01101}$ は左から順に $\texttt{0}$, $\texttt{1}$, $\texttt{1}$, $\texttt{0}$, $\texttt{1}$ の 5 文字です。

1. 初期状態は $(q_0,q_0)$。
2. $\texttt{0}$ を読む
   • 第一座標: $q_0 \xrightarrow{0} q_1$
   • 第二座標: $q_0 \xrightarrow{0} q_1$
   • よって $(q_0,q_0)\xrightarrow{\texttt{0}}(q_1,q_1)$
3. $\texttt{1}$ を読む
   • 第一座標: 1ステップ $q_1 \xrightarrow{0} q_2$
   • 第二座標: 2ステップ $q_1 \xrightarrow{0} q_2 \xrightarrow{0} q_3$
   • よって $(q_1,q_1)\xrightarrow{\texttt{1}}(q_2,q_3)$
4. $\texttt{1}$ を読む
   • 第一座標: 1ステップ $q_2 \xrightarrow{0} q_3$
   • 第二座標: 2ステップ $q_3 \xrightarrow{0} q_4 \xrightarrow{0} q_5$
     • ただし元のオートマトンで $q_3 \xrightarrow{0} q_4$, $q_4 \xrightarrow{0} q_5$
   • よって $(q_2,q_3)\xrightarrow{\texttt{1}}(q_3,q_5)$
5. $\texttt{0}$ を読む
   • 第一座標: $q_3 \xrightarrow{0} q_4$
   • 第二座標: $q_5 \xrightarrow{0} q_6$
   • よって $(q_3,q_5)\xrightarrow{\texttt{0}}(q_4,q_6)$
6. $\texttt{1}$ を読む
   • 第一座標: 1ステップ $q_4 \xrightarrow{0} q_5$
   • 第二座標: 2ステップ $q_6 \xrightarrow{0} q_2 \xrightarrow{0} q_3$
     • ループ部 $q_6 \to q_2 \to q_3$
   • よって $(q_4,q_6)\xrightarrow{\texttt{1}}(q_5,q_3)$

以上から，$\texttt{01101}$ に対する状態系列は

$$(q_0,q_0) \;\xrightarrow{\texttt{0}}\; (q_1,q_1) \;\xrightarrow{\texttt{1}}\; (q_2,q_3) \;\xrightarrow{\texttt{1}}\; (q_3,q_5) \;\xrightarrow{\texttt{0}}\; (q_4,q_6) \;\xrightarrow{\texttt{1}}\; (q_5,q_3)$$

となります。最終状態は $(q_5,q_3)$ です。

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以下，ほかの設問にも関連してざっくりポイントを述べておくと：

• 問2:
  「$n$ が 5 の倍数のとき，$1^n$ を読むと $(q_5,q_5)$ に行き着く」
  は，上述のように「$\texttt{1}$ を読むたびに，第一座標は“1ステップ前進”，第二座標は“2ステップ前進”」だからこそ，それぞれ

  $$\text{第一座標は }n\text{ ステップ前進},\quad \text{第二座標は }2n\text{ ステップ前進}$$

  となります。元のオートマトン $M$ の状態遷移が

  $$q_0 \xrightarrow{0} q_1 \xrightarrow{0} q_2 \;\xrightarrow{0} q_3 \xrightarrow{0} q_4 \xrightarrow{0} q_5 \xrightarrow{0} q_6 \xrightarrow{0} q_2 \xrightarrow{0}\dots$$

  という「$q_2$ を基点に長さ 5 のループ」をもつことと，$n$ が 5 の倍数という条件を組み合わせると，初期状態 $q_0$ から丁度 $q_5$ に到達する形でうまく説明できます。

• 問3, 4:
  結局，$\tilde{M}$ が最終的に $(q_2,q_2)$ へ到達するための条件は

  1. 第一座標 $\to q_2$: これは「$(\#_0(w)+\#_1(w)) \mod 5 = 2$」
  2. 第二座標 $\to q_2$: これは「$(\#_0(w)+2\,\#_1(w)) \mod 5 = 2$」
     となります。両方合わせると

  $$\#_0(w) \equiv 2 \pmod{5}, \quad \#_1(w) \equiv 0 \pmod{5}$$

  が成立することが分かり，$\tilde{M}$ の受理言語が

  $$\{\,w \in \{0,1\}^* \mid \#_0(w) \bmod 5 = 2,\;\#_1(w)\bmod 5 = 0\}$$

  であることが示されます。

以上が，まずは問1（入力 $\texttt{01101}$ に対する状態系列）の要点です。

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DeepSeek

1. 给出输入字符串 $01101$ 在自动机 $\tilde{M}$ 上的状态序列。

根据自动机 $\tilde{M}$ 的转移函数定义，无论输入是 0 还是 1，状态转移都按照输入 0 来进行。因此，输入字符串 $01101$ 的状态序列为：

$$(q_0, q_0) \to (q_1, q_1) \to (q_2, q_2) \to (q_3, q_3) \to (q_4, q_4) \to (q_5, q_5)$$

2. 证明当 $n (≥ 1)$ 是 $5$ 的倍数时，输入字符串 $1^n$ 在自动机 $\tilde{M}$ 上的最终状态为 $(q_5, q_5)$。

由于输入字符串仅由 1 组成，且转移函数定义为 $\tilde{\delta}((q, q'), a) = (\delta(q, 0), \delta(q', 0))$，对于每一个输入 1，状态转移都按照输入 0 来进行。

因此，输入 $1^n$ 时，状态序列为：

$$(q_0, q_0) \xrightarrow{1} (q_1, q_1) \xrightarrow{1} (q_2, q_2) \xrightarrow{1} (q_3, q_3) \xrightarrow{1} (q_4, q_4) \xrightarrow{1} (q_5, q_5)$$

当 $n$ 是 5 的倍数时，最终状态为 $(q_5, q_5)$。

3. 对于长度 $≥ 2$ 的字符串 $w ∈ \{0, 1\}^*$，自动机 $\tilde{M}$ 的最终状态记为 $(q_{iw}, q_{jw})$，其中 $iw, jw ∈ \{2, 3, 4, 5, 6\}$。请用字符串 $w$ 中 $0$ 和 $1$ 的个数（即 $\#_0(w)$ 和 $\#_1(w)$）表示 $iw$ 和 $jw$。

根据转移函数定义，状态转移始终按照输入 0 来进行。因此，最终状态 $(q_{iw}, q_{jw})$ 可以表示为：

$$iw = (\#_0(w) + \#_1(w)) \mod 5 + 2$$

$$jw = (\#_0(w) + \#_1(w)) \mod 5 + 2$$

4. 证明自动机 $\tilde{M}$ 接受的语言是：

$$\{w \in \{0, 1\}^* \mid \#_0(w) \mod 5 = 2, \#_1(w) \mod 5 = 0\}$$

自动机 $\tilde{M}$ 的接受状态为 $(q_2, q_2)$。根据转移函数定义，状态转移始终按照输入 0 来进行。因此，要使最终状态为 $(q_2, q_2)$，需要满足：

$$(\#_0(w) + \#_1(w)) \mod 5 = 2$$

并且，由于 $\#_1(w) \mod 5 = 0$，所以：

$$\#_0(w) \mod 5 = 2$$

因此，自动机 $\tilde{M}$ 接受的语言是：

$$\{w \in \{0, 1\}^* \mid \#_0(w) \mod 5 = 2, \#_1(w) \mod 5 = 0\}$$