線形代数 (Linear algebra)

$n \times n$ の実対称行列 $A = [a_{ij}]_{n \times n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ に対して、$A$ の各要素 $a_{ij}$ が $a_{ij} \in \{0,1\}$ ($1 \leq i,j \leq n$) かつ $a_{ii} = 0$ ($1 \leq i \leq n$) を満たすとする。$A$ に対して、$D = [\delta_{ij} (\sum_{k=1}^n a_{ik})]_{n \times n}$ と定義する。ただし、$\delta_{ij}$ は、$1 \leq i,j \leq n$ に対して、$i = j$ のとき $\delta_{ij} = 1$、そうでないとき $\delta_{ij} = 0$ によって定義される。さらに、$L = D - A$ と定義する。以下の各問いに答えよ。

(1) 以下の $A$ に対して、$L = D - A$ を求めよ。

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

(2) (1) で求めた $L$ の固有値を全て求めよ。 (3) (2) で求めた $L$ の各固有値に対する固有空間を求めよ。 (4) 一般に $L$ は固有値 $0$ を持つことを示せ。

中文翻译

对于 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A = [a_{ij}]_{n \times n} \in \mathbb{R}^{n \times n}$，假设 $A$ 的每个元素 $a_{ij}$ 满足 $a_{ij} \in \{0,1\}$ ($1 \leq i,j \leq n$) 且 $a_{ii} = 0$ ($1 \leq i \leq n$)。对于 $A$，定义 $D = [\delta_{ij} (\sum_{k=1}^n a_{ik})]_{n \times n}$，其中 $\delta_{ij}$ 定义为：当 $i = j$ 时 $\delta_{ij} = 1$，否则 $\delta_{ij} = 0$。进一步定义 $L = D - A$。请回答以下问题。

(1) 对于以下矩阵 $A$，求 $L = D - A$。

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

(2) 求 (1) 中得到的 $L$ 的所有特征值。 (3) 求 (2) 中得到的 $L$ 的每个特征值对应的特征空间。 (4) 证明一般情况下 $L$ 具有特征值 $0$。

解答

(1) 首先计算 $D$ 矩阵。$D$ 的对角线元素为 $A$ 的每行元素之和：

$$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

因此，$L = D - A$ 为：

$$L = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

(2) 求 $L$ 的特征值。首先计算特征方程 $\det(L - \lambda I) = 0$：

$$\det \begin{pmatrix} 2 - \lambda & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 - \lambda & -1 & 0 \\ -1 & -1 & 2 - \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} = 0$$

通过计算，特征值为 $\lambda = 0, 3, 3, 0$。

(3) 对于 $\lambda = 0$，特征向量为 $(1, 1, 1, 0)$；对于 $\lambda = 3$，特征向量为 $(1, -1, 0, 0)$ 和 $(1, 0, -1, 0)$。

(4) 由于 $L$ 的行和为 $0$，因此 $L$ 的零空间非空，即 $L$ 具有特征值 $0$。