解析学・微積分 (Analysis and calculus)

(1) $\mathbb{R}$ 上の関数 $f(x) = \cos x$ の $k$ 階導関数を $f^{(k)}(x)$ で表す。以下の各問いに答えよ。 (a) 全ての $k \geq 1$ について $f^{(k)}(0)$ を求めよ。 (b) $f(x)$ の原点周りでのテイラー級数を

$$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$

とするとき、全ての $k \geq 0$ に関する $a_k$ を求めよ。 (c) 全ての $x \in \mathbb{R}$ について

$$\sum_{k=0}^\infty |a_k x^k|$$

が収束することを示せ。 (2) 次の微分方程式の一般解を求めよ。なお、$y'$ は関数 $y(x)$ の $x$ に関する 1 階導関数を表している。

$$y'''' - 2y''' - y'' - 4y' + 12y = 0$$

(3) 開曲線 $C$ に沿った複素積分

$$\int_C \frac{1}{z(z^2 - 1)} \, dz$$

を求めよ。ただし、$C$ は円 $|z| = r$, $r > 0$ かつ $r \neq 1$ とする。

中文翻译

(1) 对于 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x) = \cos x$，其 $k$ 阶导数记为 $f^{(k)}(x)$。请回答以下问题。 (a) 求所有 $k \geq 1$ 的 $f^{(k)}(0)$。 (b) 设 $f(x)$ 在原点附近的泰勒级数为

$$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$

求所有 $k \geq 0$ 的 $a_k$。 (c) 证明对于所有 $x \in \mathbb{R}$，

$$\sum_{k=0}^\infty |a_k x^k|$$

收敛。 (2) 求以下微分方程的一般解，其中 $y'$ 表示函数 $y(x)$ 对 $x$ 的一阶导数。

$$y'''' - 2y''' - y'' - 4y' + 12y = 0$$

(3) 计算沿开曲线 $C$ 的复积分

$$\int_C \frac{1}{z(z^2 - 1)} \, dz$$

其中 $C$ 是圆 $|z| = r$, $r > 0$ 且 $r \neq 1$。

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解答

(1)

(a)

$\cos x$ 的导数为 $\cos^{(k)}(x) = \cos\left(x + \frac{k\pi}{2}\right)$，因此 $f^{(k)}(0) = \cos\left(\frac{k\pi}{2}\right)$。

(b)

$\cos x$ 的泰勒级数为

$$\cos x = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}$$

因此，$a_k = \frac{(-1)^k}{(2k)!}$ 当 $k$ 为偶数，否则 $a_k = 0$。 (c) 由于 $\sum_{k=0}^\infty \left|\frac{(-1)^k}{(2k)!} x^{2k}\right|$ 是绝对收敛的，因此原级数收敛。

(2)

特征方程为 $r^4 - 2r^3 - r^2 - 4r + 12 = 0$，解得 $r = 2, 2, -1, -3$。因此，一般解为

$$y(x) = (C_1 + C_2 x) e^{2x} + C_3 e^{-x} + C_4 e^{-3x}$$

(3)

被积函数在 $z = 0, 1, -1$ 处有极点。根据留数定理，积分值为 $2\pi i \left(\text{Res}(f, 0) + \text{Res}(f, 1) + \text{Res}(f, -1)\right)$。计算得积分值为 $0$。