数学

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数学

線形代数

$n \times m$ 実行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ の第 $j$ 列 ( $j = 1, 2, \dots, m$ ) を $a_j \in \mathbb{R}^n$ とする。
各部分集合 $J \subseteq \{1, 2, \dots, m\}$ について、その要素数を $|J|$ で表し、 $a_j \ (j \in J)$ を $j$ に関する昇順で左から並べて得られる $A$ の部分行列を $A[J] \in \mathbb{R}^{n \times |J|}$ で表す。
このとき、以下の問いに答えよ。

以下の行列 $A$ に対し、 $\{a_j | j \in J\}$ が線形独立であるような部分集合 $J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ をすべて求めよ。 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -2 & -3 & -5 \\ -2 & -2 & 0 & 4 & 6 & 0 \end{pmatrix}$
(1) の行列 $A$ に対し、 $rank(A[J]) < |J|$ を満たす部分集合 $J \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ であって、 $J$ の任意の真部分集合 $I \subset J$ について $rank(A[I]) = |I|$ が成り立つものをすべて求めよ。ただし、空集合 $\emptyset$ に対しては $rank(A[\emptyset]) = 0$ と定義する。
一般の $A \in \mathbb{R}^{n \times m}$ について、 $I \subseteq J \subseteq \{1, 2, \dots, m\}$ かつ $rank(A[J]) = |J|$ のとき、 $rank(A[I]) = |I|$ が成り立つことを示せ。