R05-数学-向量分析

ベクトル解析

直交座標系において、$x$、$y$、$z$ 軸方向の単位ベクトルをそれぞれ $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$ とする。ベクトル場 $\mathbf{F}$ を $\mathbf{F} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + z \mathbf{k}$ とする。次の各問に答えよ。 (1) $C$ を $x^2 + y^2 = 4$, $z = 0$ で定義される円とする。次に示す $C_1$ および $C_2$ に沿った線積分

$$\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \quad \text{および} \quad \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

を求めよ。 (a) $C_1$: $C$ 上を点 $A(1, \sqrt{3}, 0)$ から点 $B(-1, \sqrt{3}, 0)$ まで反時計回りに向かう曲線 (b) $C_2$: $C$ 上を点 $A(1, \sqrt{3}, 0)$ から点 $B(-1, \sqrt{3}, 0)$ まで時計回りに向かう曲線 (2) $S$ を半球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ ($0 \leq z$) と平面 $z = 0$ で囲まれた領域の境界とする。面積分

$$\int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$

を求めよ。外向き法線ベクトルを用いよ。

Vector analysis

中文翻译

在直角坐标系中，$x$、$y$、$z$ 轴方向的单位向量分别为 $\mathbf{i}$、$\mathbf{j}$、$\mathbf{k}$。向量场 $\mathbf{F}$ 定义为 $\mathbf{F} = y \mathbf{i} - x \mathbf{j} + z \mathbf{k}$。请回答以下问题。 (1) 设 $C$ 为由 $x^2 + y^2 = 4$, $z = 0$ 定义的圆。计算沿以下曲线 $C_1$ 和 $C_2$ 的线积分

$$\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \quad \text{和} \quad \int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$$

(a) $C_1$: 从点 $A(1, \sqrt{3}, 0)$ 到点 $B(-1, \sqrt{3}, 0)$ 沿 $C$ 逆时针方向的曲线 (b) $C_2$: 从点 $A(1, \sqrt{3}, 0)$ 到点 $B(-1, \sqrt{3}, 0)$ 沿 $C$ 顺时针方向的曲线 (2) 设 $S$ 为由半球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ ($0 \leq z$) 和平面 $z = 0$ 围成的区域的边界。计算面积分

$$\int_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}$$

使用外法线向量。

解答

(1)

(a) 参数化曲线 $C_1$ 为 $\mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0)$，$t \in [0, \pi]$。计算线积分得

$$\int_{C_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_0^\pi (-4\sin^2 t - 4\cos^2 t) \, dt = -4\pi$$

(b) 参数化曲线 $C_2$ 为 $\mathbf{r}(t) = (2\cos t, 2\sin t, 0)$，$t \in [\pi, 2\pi]$。计算线积分得

$$\int_{C_2} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_\pi^{2\pi} (-4\sin^2 t - 4\cos^2 t) \, dt = -4\pi$$

(2)

计算 $\nabla \times \mathbf{F} = (-1, -1, -2)$。根据斯托克斯定理，面积分等于线积分，结果为 $-4\pi$。