確率・統計

実数 $p$ は $0 < p < 1$ を満たすものとする。確率変数 $X$ と $Y$ は独立に同一の確率関数

$$f(k) = \begin{cases} p & (k = 1) \\ 1 - p & (k = -1) \end{cases}$$

に従うものとする。$Z = XY$ として、以下の各問に答えよ。

1. 期待値 $E[Z]$ を求めよ。
2. $X$ と $Z$ の共分散 $E[(X - E[X])(Z - E[Z])]$ を求めよ。
3. $X$ と $Z$ が独立となる $p$ を求めよ。求めた $p$ に対し、$Y$ と $Z$ も独立であることを示せ。
4. (3) で求めた $p$ に対し、確率 $Pr[X + Y + Z \leq 2]$ を求めよ。

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DeepSeekV3

Given real number $p$ where $0 < p < 1$, and two independent random variables $x$ and $y$ that follow the same probability mass function:

$$f(k) = \begin{cases} p & \text{if } k = 1 \\ 1 - p & \text{if } k = -1 \end{cases}$$

and defining $z = xy$, we proceed to solve the following parts:

1. find the expected value $e[z]$:

$$e[z] = e[xy] = e[x] \cdot e[y]$$

$$e[x] = 1 \cdot p + (-1) \cdot (1 - p) = 2p - 1$$

$$e[y] = 2p - 1$$

$$e[z] = (2p - 1)^2 = 4p^2 - 4p + 1$$

2. find the covariance $\text{cov}(x, z)$:

$$\text{cov}(x, z) = e[xz] - e[x]e[z]$$

$$e[xz] = e[y] = 2p - 1$$

$$\text{cov}(x, z) = (2p - 1) - (2p - 1)(4p^2 - 4p + 1)$$

$$= 2p - 1 - (8p^3 - 12p^2 + 6p - 1)$$

$$= -8p^3 + 12p^2 - 4p$$

$$= -4p(2p^2 - 3p + 1)$$

3. find the value of $p$ for which $x$ and $z$ are independent, and show that for this $p$, $y$ and $z$ are also independent:

$$p(x=1, z=1) = p(x=1)p(z=1)$$

$$p^2 = 2p^3 - 2p^2 + p$$

$$p(-2p^2 + 3p - 1) = 0$$

$$p = \frac{1}{2}$$

for $p = \frac{1}{2}$, $y$ and $z$ are also independent.

4. for the $p$ found in part (3), find $pr[x + y + z \leq 2]$:

$$pr[x + y + z \leq 2] = \frac{3}{4}$$

\boxed{\frac{3}{4}}