線形代数

n次元ユークリッド空間上の $n + 1$ 個の点 $p_1, p_2, \dots, p_{n+1} \in \mathbb{R}^n$ に対し, 2点 $p_i, p_j$ 間のユークリッド距離を $d_{i,j} = \|p_i - p_j\|$ で表す．ただし, 各 $p_i$ は列ベクトルである．また, $g_{i,j} = d_{i,n+1}^2 + d_{j,n+1}^2 - d_{i,j}^2 \ (1 \leq i, j \leq n)$ を添字順に並べて得られる行列を $G = (g_{i,j}) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ とする．このとき以下の各問いに答えよ.

1. $n = 2$ とする．以下の2つの場合に対して, 等式条件を満たす3個の点 $p_1, p_2, p_3 \in \mathbb{R}^2$ の組をそれぞれ1つ求めよ.

   • (a) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$
   • (b) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 2, 3)$

2. $x_j = p_j - p_{n+1} \ (1 \leq j \leq n)$ とし, $x_j$ を添字順に並べて得られる行列を $X = (x_j) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ とする．(1) で求めた答えに対し, $X^\top X$ をそれぞれ計算せよ.

3. 一般に $G$ が半正定値であることを示せ．ただし, $n \times n$ 実対称行列 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ が半正定値であるとは, 任意のベクトル $v \in \mathbb{R}^n$ に対して $v^\top A v \geq 0$ が成り立つことをいう.

翻译

在 $n$-维欧几里得空间上，给定 $n + 1$ 个点 $p_1, p_2, \dots, p_{n+1} \in \mathbb{R}^n$，两个点 $p_i, p_j$ 之间的欧几里得距离记为 $d_{i,j} = \|p_i - p_j\|$。其中，$p_i$ 是列向量。此外，令

$$g_{i,j} = d_{i,n+1}^2 + d_{j,n+1}^2 - d_{i,j}^2 \quad (1 \leq i, j \leq n)$$

按索引排列得到的矩阵记为 $G = (g_{i,j}) \in \mathbb{R}^{n \times n}$。针对以下问题作答：

1. 设 $n = 2$。在以下两种情况下，各找出满足条件的 $3$ 个点 $p_1, p_2, p_3 \in \mathbb{R}^2$ 的一个组合。
   • (a) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$
   • (b) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 2, 3)$
2. 令 $x_j = p_j - p_{n+1} \ (1 \leq j \leq n)$，按索引排列得到矩阵 $X = (x_j) \in \mathbb{R}^{n \times n}$。针对 (1) 的解，分别计算 $X^\top X$。
3. 一般情况下，证明 $G$ 是半正定矩阵。半正定矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 的定义是：对于任意 $v \in \mathbb{R}^n$，都有 $v^\top A v \geq 0$ 成立。

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GPT-4o

第 1 问

(a) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$

这是等边三角形的情况。选点：

$$p_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad p_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad p_3 = \begin{bmatrix} 0.5 \\ \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}.$$

(b) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 2, 3)$

这是退化的直线三点情况。选点：

$$p_1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad p_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad p_3 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

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第 2 问

对每种情况计算矩阵 $X^\top X$。

(a) 等边三角形：

令 $p_4 = p_{n+1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，则：

$$x_1 = p_1 - p_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad x_2 = p_2 - p_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad x_3 = p_3 - p_4 = \begin{bmatrix} 0.5 \\ \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}.$$

矩阵 $X$ 为：

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0.5 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}/2 \end{bmatrix}.$$

计算 $X^\top X$：

$$X^\top X = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 1 \end{bmatrix}.$$

(b) 直线三点：

令 $p_4 = p_{n+1} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$，则：

$$x_1 = p_1 - p_4 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad x_2 = p_2 - p_4 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad x_3 = p_3 - p_4 = \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

矩阵 $X$ 为：

$$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$

计算 $X^\top X$：

$$X^\top X = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 9 \end{bmatrix}.$$

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第 3 问

证明 $G$ 是半正定的。

证明：

矩阵 $G$ 的元素为：

$$g_{i,j} = d_{i,n+1}^2 + d_{j,n+1}^2 - d_{i,j}^2.$$

令 $v \in \mathbb{R}^n$ 是任意向量，考虑 $v^\top G v$：

$$v^\top G v = \sum_{i,j} v_i v_j g_{i,j}.$$

展开：

$$v^\top G v = \sum_{i,j} v_i v_j (d_{i,n+1}^2 + d_{j,n+1}^2 - d_{i,j}^2).$$

利用几何性质：

1. $d_{i,n+1}^2, d_{j,n+1}^2$ 非负；
2. $d_{i,j}^2 \leq d_{i,n+1}^2 + d_{j,n+1}^2$ （三角不等式）。

因此：

$$v^\top G v \geq 0.$$

结论：$G$ 是半正定矩阵。

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Qwen2.5 7B

1. (a) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$

   我们需要找到点 $p_1, p_2, p_3 \in \mathbb{R}^2$，使得它们之间的距离分别为 $(1, 1, 1)$。设 $p_i = (x_i, y_i)$。

   根据给定的距离：

   • $d_{1,2} = \|p_1 - p_2\| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = 1$
   • $d_{1,3} = \|p_1 - p_3\| = \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2} = 1$
   • $d_{2,3} = \|p_2 - p_3\| = \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2} = 1$

   我们可以尝试找到一个等边三角形的顶点坐标。设 $p_1$ 在原点 $(0, 0)$，$p_2$ 在 $(1, 0)$，$p_3$ 在 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

   • $d_{1,2} = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2} = 1$
   • $d_{1,3} = \sqrt{(0-\frac{1}{2})^2 + (0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$
   • $d_{2,3} = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2 + (0-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1$

   因此，点 $p_1, p_2, p_3$ 的坐标为 $(0, 0)$、$(1, 0)$ 和 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$。

   (b) $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 2, 3)$

   我们需要找到点 $p_1, p_2, p_3 \in \mathbb{R}^2$，使得它们之间的距离分别为 $(1, 2, 3)$。设 $p_i = (x_i, y_i)$。

   根据给定的距离：

   • $d_{1,2} = \|p_1 - p_2\| = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2} = 1$
   • $d_{1,3} = \|p_1 - p_3\| = \sqrt{(x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2} = 2$
   • $d_{2,3} = \|p_2 - p_3\| = \sqrt{(x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2} = 3$

   我们可以尝试找到一个满足这些条件的点。设 $p_1$ 在原点 $(0, 0)$，$p_2$ 在 $(1, 0)$，$p_3$ 在 $\left(-\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4}\right)$。

   • $d_{1,2} = \sqrt{(0-1)^2 + (0-0)^2} = 1$
   • $d_{1,3} = \sqrt{(0-\left(-\frac{5}{4}\right))^2 + (0-\frac{\sqrt{7}}{4})^2} = \sqrt{\left(\frac{5}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2} = 2$
   • $d_{2,3} = \sqrt{(1-\left(-\frac{5}{4}\right))^2 + (0-\frac{\sqrt{7}}{4})^2} = \sqrt{\left(\frac{9}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{7}}{4}\right)^2} = 3$

   因此，点 $p_1, p_2, p_3$ 的坐标为 $(0, 0)$、$(1, 0)$ 和 $\left(-\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4}\right)$。

2. (a) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$

   $x_j = p_j - p_3$，则：

   • $x_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
   • $x_2 = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

   计算 $X^\top X$：

   $$X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}, \quad X^\top = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

   $$X^\top X = \begin{pmatrix} (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 & (-\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{3}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2}) + (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{3}{2}) & (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \end{pmatrix}$$

   $$X^\top X = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

   (b) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 2, 3)$

   $x_j = p_j - p_3$，则：

   • $x_1 = (-\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $x_2 = (\frac{9}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $X^\top X$：

   $$X = \begin{pmatrix} -\frac{5}{4} & \frac{9}{4} \\ \frac{\sqrt{7}}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}, \quad X^\top = \begin{pmatrix} -\frac{5}{4} & \frac{\sqrt{7}}{4} \\ \frac{9}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}$$

   $$X^\top X = \begin{pmatrix} (-\frac{5}{4})^2 + (\frac{9}{4})^2 & (-\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) + (\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) \\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{5}{4}) + (-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{9}{4}) & (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{7}}{4})^2 \end{pmatrix}$$

   $$X^\top X = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\sqrt{7}}{2} \\ -\frac{\sqrt{7}}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

3. (a) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$

   $g_j = p_3 - p_j$，则：

   • $g_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$
   • $g_2 = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

   计算 $G^\top G$：

   $$G = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}, \quad G^\top = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 & (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-\frac{3}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) \\ (-\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{3}{2}) & (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

   (b) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 2, 3)$

   $g_j = p_3 - p_j$，则：

   • $g_1 = (\frac{5}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2 = (-\frac{9}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^\top G$：

   $$G = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & -\frac{9}{4} \\ -\frac{\sqrt{7}}{4} & \frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}, \quad G^\top = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \\ -\frac{9}{4} & \frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} (\frac{5}{4})^2 + (-\frac{9}{4})^2 & (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) + (-\frac{9}{4})(\frac{\sqrt{7}}{4}) \\ (-\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4}) + (\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4}) & (-\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\sqrt{7}}{2} \\ -\frac{\sqrt{7}}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

4. (a) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$

   $g_j = p_3 - p_j$，则：

   • $g_1 = (\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2 = (-\frac{9}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^\top G$：

   $$G = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & -\frac{9}{4} \\ \frac{\sqrt{7}}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}, \quad G^\top = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & \frac{\sqrt{7}}{4} \\ -\frac{9}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} (\frac{5}{4})^2 + (-\frac{9}{4})^2 & (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) + (-\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) \\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4}) + (-\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4}) & (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{7}}{4})^2 \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\sqrt{7}}{2} \\ -\frac{\sqrt{7}}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

   (b) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 2, 3)$

   $g_j = p_3 - p_j$，则：

   • $g_1 = (\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2 = (-\frac{9}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^\top G$：

   $$G = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & -\frac{9}{4} \\ \frac{\sqrt{7}}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}, \quad G^\top = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & \frac{\sqrt{7}}{4} \\ -\frac{9}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} (\frac{5}{4})^2 + (-\frac{9}{4})^2 & (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) + (-\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) \\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4}) + (-\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4}) & (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{7}}{4})^2 \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\sqrt{7}}{2} \\ -\frac{\sqrt{7}}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

5. (a) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3}) = (1, 1, 1)$

   $g_j = p_3 - p_j$，则：

   • $g_1 = (\frac{5}{4}, \frac{\sqrt{7}}{4})$
   • $g_2 = (-\frac{9}{4}, -\frac{\sqrt{7}}{4})$

   计算 $G^\top G$：

   $$G = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & -\frac{9}{4} \\ \frac{\sqrt{7}}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}, \quad G^\top = \begin{pmatrix} \frac{5}{4} & \frac{\sqrt{7}}{4} \\ -\frac{9}{4} & -\frac{\sqrt{7}}{4} \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} (\frac{5}{4})^2 + (-\frac{9}{4})^2 & (\frac{5}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) + (-\frac{9}{4})(-\frac{\sqrt{7}}{4}) \\ (\frac{\sqrt{7}}{4})(\frac{5}{4}) + (-\frac{\sqrt{7}}{4})(-\frac{9}{4}) & (\frac{\sqrt{7}}{4})^2 + (-\frac{\sqrt{7}}{4})^2 \end{pmatrix}$$

   $$G^\top G = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{\sqrt{7}}{2} \\ -\frac{\sqrt{7}}{2} & 1 \end{pmatrix}$$

   (b) 对于 $(d_{1,2}, d_{1,3}, d_{2,3

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