例题-非齐次波动方程求解

给定的偏微分方程是：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

这是一个非齐次的波动方程。波动方程的一般形式为：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + f(x, t)$$

其中 $c$ 是波速，$f(x, t)$ 是源项。在这里，假设 $c = 1$，则我们得到：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

分离变量法

1. 齐次问题：

首先考虑齐次问题：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

我们假设解 $u(x, t)$ 可以分离变量，即 $u(x, t) = X(x)T(t)$。

代入齐次波动方程，得到：

$$X(x) \frac{d^2 T(t)}{d t^2} = T(t) \frac{d^2 X(x)}{d x^2}$$

分离变量：

$$\frac{1}{T(t)} \frac{d^2 T(t)}{d t^2} = \frac{1}{X(x)} \frac{d^2 X(x)}{d x^2} = -\lambda$$

其中 $\lambda$ 是分离常数。这样得到两个常微分方程：

$$\frac{d^2 T(t)}{d t^2} + \lambda T(t) = 0$$

$$\frac{d^2 X(x)}{d x^2} - \lambda X(x) = 0$$

其解为：

$$T(t) = A \cos(\sqrt{\lambda} t) + B \sin(\sqrt{\lambda} t)$$

$$X(x) = C \cos(\sqrt{\lambda} x) + D \sin(\sqrt{\lambda} x)$$

于是，齐次解的通解为：

$$u_h(x, t) = (A \cos(\sqrt{\lambda} t) + B \sin(\sqrt{\lambda} t))(C \cos(\sqrt{\lambda} x) + D \sin(\sqrt{\lambda} x))$$

2. 非齐次问题：

对于非齐次项 $\sin(\pi t) \sin(\pi x)$，我们寻找特解。由于源项的形式是 $\sin(\pi t) \sin(\pi x)$，我们尝试特解的形式：

$$u_p(x, t) = A \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

将其代入原方程：

$$\frac{\partial^2 u_p}{\partial t^2} = -A \pi^2 \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

$$\frac{\partial^2 u_p}{\partial x^2} = -A \pi^2 \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

所以，

$$-A \pi^2 \sin(\pi t) \sin(\pi x) = -A \pi^2 \sin(\pi t) \sin(\pi x) + \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

这意味着我们需要 $A \pi^2 = 1$，即 $A = \frac{1}{\pi^2}$。所以特解为：

$$u_p(x, t) = \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

3. 综合解：

最终解为齐次解与特解的叠加：

$$u(x, t) = u_h(x, t) + u_p(x, t)$$

$$u(x, t) = (A \cos(\sqrt{\lambda} t) + B \sin(\sqrt{\lambda} t))(C \cos(\sqrt{\lambda} x) + D \sin(\sqrt{\lambda} x)) + \frac{1}{\pi^2} \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

通过适当的初始条件和边界条件，可以确定常数 $A, B, C, D$ 的值。

波动方程的解法可以概括为：

• 求解齐次部分，通常使用分离变量法。
• 对于非齐次项，尝试特解。
• 最终解是齐次解与特解的叠加。