二次型的正交变换

问题

如何将二次型 $3x^2 + 2xy + 3y^2$ 通过正交变换化为只含 $(x')^2$ 和 $(y')^2$ 的标准形式.

推导

二次型的定义

一个二次型可以表示为：

$$Q(\mathbf{x}) = ax^2 + bxy + cy^2 = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$$

其中，$\mathbf{x}$ 是一个二维列向量：

$$\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},$$

$A$ 是一个对称矩阵：

$$A = \begin{bmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{bmatrix}.$$

例如，对于 $3x^2 + 2xy + 3y^2$，矩阵 $A$ 为：

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

特征值分解

对称矩阵 $A$ 可以进行特征值分解：

$$A = P D P^{-1}$$

其中：

• $P$ 是 $A$ 的特征向量矩阵；
• $D$ 是对角矩阵，由 $A$ 的特征值构成。

由于 $A$ 是对称矩阵，其特征向量是正交的。通过归一化处理，$P$ 可构成正交矩阵，满足：

$$P^T = P^{-1}.$$

化简过程

将特征值分解代入二次型：

$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{x}^T (P D P^T) \mathbf{x}.$$

设 $\mathbf{y} = P^T \mathbf{x}$，则 $\mathbf{x} = P \mathbf{y}$。将其代入得：

$$Q(\mathbf{x}) = (P \mathbf{y})^T A (P \mathbf{y}) = \mathbf{y}^T P^T A P \mathbf{y}.$$

由于 $P^T A P = D$，得到：

$$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{y}^T D \mathbf{y}.$$

其中，$D$ 是对角矩阵：

$$D = \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{bmatrix},$$

$\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 $A$ 的特征值。

二次型的标准形式

在新坐标系 $\mathbf{y}$ 下，二次型化为：

$$Q(\mathbf{x}) = \lambda_1 (y_1)^2 + \lambda_2 (y_2)^2.$$

此时，二次型的交叉项 $y_1 y_2$ 消失，二次型被化为只含 $(y_1)^2$ 和 $(y_2)^2$ 的标准形式。

示例

对于矩阵

$$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$

解特征值方程：

$$\det(A - \lambda I) = 0.$$

即：

$$\det \begin{bmatrix} 3 - \lambda & 1 \\ 1 & 3 - \lambda \end{bmatrix} = (3 - \lambda)^2 - 1 = 0.$$

展开得：

$$\lambda^2 - 6\lambda + 8 = 0.$$

求根：

$$\lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = 2.$$

特征向量的求解

对应 $\lambda_1 = 4$，解 $(A - 4I)\mathbf{v} = 0$：

$$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

得到特征向量：

$$\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

对应 $\lambda_2 = 2$，解 $(A - 2I)\mathbf{v} = 0$：

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}.$$

得到特征向量：

$$\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}.$$

归一化后，特征向量矩阵 $P$ 为：

$$P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}.$$

结果

通过正交变换，二次型 $3x^2 + 2xy + 3y^2$ 在新坐标系下化为标准形式：

$$Q(\mathbf{x}) = 4(y_1)^2 + 2(y_2)^2.$$