82-sc-r3 追試験 問題4

题目 4

考虑函数 $u(t)$ 满足以下的微分方程和初始条件：

$$\frac{d^2u}{dt^2} - 2t \cdot \frac{du}{dt} + 4u = 0 \tag{1}$$

当 $t = 0$ 时，函数 $u(t)$ 可以用幂级数表示为：

$$u(t) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n t^n \tag{2}$$

请按以下步骤解答：

步骤 1

求解 $c_n$ 的表达式。

步骤 2

根据步骤 1 得到的表达式，在假设 $n = 2m$ 时和 $n = 2m + 1$ 时分别给出 $c_n$ 的表达式。进一步，假设 $m$ 从 0 开始。在假设中，计算 $c_2$, $c_3$ 等等（至少给出 $m = 2$ 时的值）。此外，假设中 $c_3$, $c_4$ 等等也应给出相应的值。最后，请给出 $c_0$, $c_1$ 等初始值。

步骤 3

求解 $u(t)$ 的具体表达式。

步骤 4

假设 $c_0 = c_1 = 1$，给出 $u(t)$ 在 $t=0$ 时的具体值。

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解法

步骤 1: 寻找系数 $c_n$

将 $u(t)$ 以及其导数代入到方程 (1) 中：

$$u(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n t^n$$

$$u'(t) = \sum_{n=1}^\infty n c_n t^{n-1}$$

$$u''(t) = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) c_n t^{n-2}$$

代入微分方程：

$$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) c_n t^{n-2} - 2t \sum_{n=1}^\infty n c_n t^{n-1} + 4 \sum_{n=0}^\infty c_n t^n = 0$$

调整项的 $t$ 的幂次，使得所有项的次数一致：

$$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) c_{n+2} t^n - 2 \sum_{n=0}^\infty (n+1) c_{n+1} t^n + 4 \sum_{n=0}^\infty c_n t^n = 0$$

为了满足所有的 $t$ 幂次系数相加等于零，我们得到系数的递推公式：

$$(n+2)(n+1) c_{n+2} - 2(n+1) c_{n+1} + 4 c_n = 0$$

进一步简化：

$$c_{n+2} = \frac{2(n+1) c_{n+1} - 4 c_n}{(n+2)(n+1)} \tag{3}$$

步骤 2: 计算特定的 $c_n$ 值

利用方程 (3) 从已知的 $c_0$ 和 $c_1$ 开始计算 $c_2$, $c_3$, 等等。

步骤 3: 求解 $u(t)$

利用计算出的系数 $c_n$ 代入到幂级数表达式中，得到 $u(t)$ 的具体形式。

步骤 4: 初始条件的计算

根据 $c_0 = c_1 = 1$，计算 $u(0)$ 的值，即：

$$u(0) = c_0 = 1$$

根据以上步骤，您可以通过递推公式计算出系数，并进一步得到 $u(t)$ 的具体表达式。

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在之前的变换中，我忽略了正确处理 $-2t \frac{du}{dt}$ 项中的 $t$，这是一个错误。让我们重新整理这个部分。

我们需要准确地处理每一项的展开和合并。对于方程：

$$\frac{d^2u}{dt^2} - 2t \frac{du}{dt} + 4u = 0$$

我们假设 $u(t)$ 可以表示为幂级数形式：

$$u(t) = \sum_{n=0}^\infty c_n t^n$$

则：

$$u'(t) = \sum_{n=1}^\infty n c_n t^{n-1}$$

$$u''(t) = \sum_{n=2}^\infty n(n-1) c_n t^{n-2}$$

将这些导数代入原方程：

$$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) c_n t^{n-2} - 2t \sum_{n=1}^\infty n c_n t^{n-1} + 4 \sum_{n=0}^\infty c_n t^n = 0$$

我们将每一项调整到同一幂次：

$$\sum_{n=2}^\infty n(n-1) c_n t^{n-2}$$

$$- 2t \sum_{n=1}^\infty n c_n t^{n-1} = - 2 \sum_{n=1}^\infty n c_n t^n$$

$$4 \sum_{n=0}^\infty c_n t^n = 4 \sum_{n=0}^\infty c_n t^n$$

现在，我们将所有项重新排列为同一幂次形式：

$$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) c_{n+2} t^n - 2 \sum_{n=1}^\infty n c_n t^n + 4 \sum_{n=0}^\infty c_n t^n = 0$$

我们注意到第二项的索引从 $n=1$ 开始，因此我们可以将其调整为从 $n=0$ 开始：

$$- 2 \sum_{n=1}^\infty n c_n t^n = - 2 \sum_{n=0}^\infty (n+1) c_{n+1} t^n$$

于是，方程变为：

$$\sum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1) c_{n+2} t^n - 2 \sum_{n=0}^\infty (n+1) c_{n+1} t^n + 4 \sum_{n=0}^\infty c_n t^n = 0$$

合并同类项得到：

$$\sum_{n=0}^\infty \left[(n+2)(n+1) c_{n+2} - 2 (n+1) c_{n+1} + 4 c_n \right] t^n = 0$$

为了满足等式，对于每一个 $n$，必须有：

$$(n+2)(n+1) c_{n+2} - 2(n+1) c_{n+1} + 4 c_n = 0$$

进一步简化为：

$$c_{n+2} = \frac{2(n+1) c_{n+1} - 4 c_n}{(n+2)(n+1)}$$

这就是幂级数展开法得到的递推公式。

通过这个递推公式，可以从已知的初始条件 $c_0$ 和 $c_1$ 出发，计算出后续的系数 $c_n$。

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方法二：尝试特征方程法

考虑尝试特征方程的方法。对于线性微分方程，我们假设 $u(t)$ 的形式为指数形式 $u(t) = e^{rt}$。

代入微分方程：

$$\frac{d^2}{dt^2}(e^{rt}) - 2t \frac{d}{dt}(e^{rt}) + 4e^{rt} = 0$$

求导数：

$$u'(t) = re^{rt}$$

$$u''(t) = r^2e^{rt}$$

代入原方程：

$$r^2 e^{rt} - 2t r e^{rt} + 4 e^{rt} = 0$$

我们可以看到，这种形式不太适合，因为它并不能直接消除 $t$ 项。

方法三：变换方法

考虑使用拉普拉斯变换的方法。设 $U(s) = \mathcal{L}\{u(t)\}$ 是 $u(t)$ 的拉普拉斯变换。

应用拉普拉斯变换到原方程：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^2u}{dt^2}\right\} - 2t \mathcal{L}\left\{\frac{du}{dt}\right\} + 4 \mathcal{L}\{u(t)\} = 0$$

拉普拉斯变换的性质：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{d^2u}{dt^2}\right\} = s^2 U(s) - s u(0) - u'(0)$$

$$\mathcal{L}\left\{t \frac{du}{dt}\right\} = -\frac{d}{ds} \left(s U(s) - u(0)\right)$$

代入原方程：

$$s^2 U(s) - s u(0) - u'(0) - 2 \left( -s U'(s) - U(s) + u(0) \right) + 4 U(s) = 0$$

整理得到：

$$s^2 U(s) - s u(0) - u'(0) + 2s U'(s) + 2U(s) - 2u(0) + 4U(s) = 0$$

进一步整理：

$$s^2 U(s) + 6U(s) + 2s U'(s) = s u(0) + u'(0) + 2u(0)$$

这个方程是关于 $U(s)$ 的微分方程，可以通过变数分离法或其他方法求解。

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好的，我们来求解初值条件为 $c_0 = c_1 = 1$ 时，$u(t)$ 的泰勒级数展开式的前七项。

根据之前得到的递推公式：

$$c_{n+2} = \frac{2(n+1) c_{n+1} - 4 c_n}{(n+2)(n+1)}$$

我们可以从 $c_0$ 和 $c_1$ 开始逐步计算后续的 $c_n$。

初始条件

$$c_0 = 1$$

$$c_1 = 1$$

计算后续系数

1. 计算 $c_2$：

$$c_2 = \frac{2(1+1)c_1 - 4c_0}{(2+1)(2)} = \frac{4 \cdot 1 - 4 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{0}{6} = 0$$

2. 计算 $c_3$：

c_3 = \frac{2(2+1)c_2 - 4c_1}{(3+1)(3)} = \frac{6 \cdot 0 - 4