通量积分例题

在直角坐标系中，考虑一个由 $\{x, y, z\}$ 坐标定义的三维空间。给定的区域 $D$ 是由条件 $x^2 + y^2 \leq 1$ 和 $0 \leq z \leq 1$ 定义的，它可以被看作是一个直径在 $xy$-平面上、高为1的圆柱体。

向量场 $\mathbf{F} = (x, y, 0)$ 被定义在这个空间中。要计算的是向量场 $\mathbf{F}$ 通过 $D$ 的边界表面 $\partial D$ 的通量，即法线面积分 $\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$，其中 $d\mathbf{S}$ 是区域 $D$ 的外向法向量的面积元素。

面积元素 $d\mathbf{S}$ 的计算

由于表面 $\partial D$ 由圆柱体的两个圆盘（底面和顶面）和侧面组成，我们需要分别计算每部分的面积元素。

1. 底面和顶面（$z = 0$ 和 $z = 1$）:

   • 底面的法线向量向下（即 $-z$ 方向），所以 $d\mathbf{S} = (0, 0, -1) \, dA$。
   • 顶面的法线向量向上（即 $+z$ 方向），所以 $d\mathbf{S} = (0, 0, 1) \, dA$。
   • 在底面和顶面，向量场 $\mathbf{F} = (x, y, 0)$，所以 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = 0$，因此底面和顶面对通量的贡献为零。

2. 侧面:

   • 侧面是一个圆柱面，其法向量与 $z$ 轴无关，且沿 $r$ 方向（从圆心向外），所以 $d\mathbf{S}$ 在 $xy$-平面上的分量可以表示为 $d\mathbf{S} = (x, y, 0) \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} \, ds \, dz$，其中 $ds$ 是圆的微分弧长。
   • 由于 $\mathbf{F} = (x, y, 0)$ 和 $d\mathbf{S} = (x, y, 0) \, dz$（归一化后），则 $\mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = (x^2 + y^2) \, dz$。

计算积分

将上述面积元素代入积分中：

$$\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{\text{侧面}} (x^2 + y^2) \, dz$$

在侧面上，$x^2 + y^2 = 1$，因此：

$$\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^1 \int_0^{2\pi} 1 \, r \, d\theta \, dz = \int_0^1 2\pi \, dz = 2\pi$$

所以，通过 $\partial D$ 的向量场 $\mathbf{F}$ 的通量是 $2\pi$。

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你提到的公式 $\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ 表示的是向量场 $\mathbf{F}$ 通过封闭表面 $\partial D$ 的通量。具体来说：

1. 通量的定义：向量场通过一个表面的通量是通过该表面的所有向量场分量在法线方向上的总和，即：

   $$\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$$

   这里，$d\mathbf{S}$ 是表面的法向面积元素，$\mathbf{F}$ 是给定的向量场。这个积分计算了 $\mathbf{F}$ 在表面上的法向分量的总和。

2. 公式解读：题目中给出的公式 $\int_{\partial D} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$ 明确要求计算的是向量场 $\mathbf{F}$ 通过表面 $\partial D$ 的通量，而不是其他类型的积分（例如曲线积分或标量场的体积分）。

3. 题目的描述：题目描述了一个区域 $D$ 及其表面 $\partial D$，并且明确指出 $\mathbf{F}$ 是一个向量场。最后要求计算 $\mathbf{F}$ 在 $\partial D$ 上的法线面积分。法线面积分通常用于计算通量，因为它涉及向量场在表面上的法向量成分。

通量的详细计算

现在，我们更详细地分析一下通量的计算过程：

圆柱的表面

区域 $D$ 是一个半径为1，高为1的圆柱体，其表面由三个部分组成：

• 底面：$z = 0$，$x^2 + y^2 \leq 1$
• 顶面：$z = 1$，$x^2 + y^2 \leq 1$
• 侧面：$0 \leq z \leq 1$，$x^2 + y^2 = 1$

底面和顶面

在底面 $z = 0$ 和顶面 $z = 1$ 上，向量场 $\mathbf{F} = (x, y, 0)$ 沿 $z$ 方向的分量为零，所以通过底面和顶面的通量为零。

侧面

在侧面 $x^2 + y^2 = 1$ 上，我们计算向量场 $\mathbf{F}$ 通过侧面的通量。

法向量和面积元素

侧面的法向量是 $\mathbf{n} = (x, y, 0) / \sqrt{x^2 + y^2}$，由于 $x^2 + y^2 = 1$，所以 $\mathbf{n} = (x, y, 0)$。

面积元素为 $dS = \sqrt{x^2 + y^2} \, dz \, d\theta = dz \, d\theta$。所以 $d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, dz \, d\theta = (x, y, 0) \, dz \, d\theta$。

计算积分

向量场 $\mathbf{F}$ 在侧面的通量为：

$$\int_{\text{侧面}} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \int_{\text{侧面}} (x, y, 0) \cdot (x, y, 0) \, dz \, d\theta$$

由于 $x^2 + y^2 = 1$，因此 $(x, y, 0) \cdot (x, y, 0) = x^2 + y^2 = 1$：

$$\int_0^1 \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta \, dz = \int_0^1 2\pi \, dz = 2\pi$$

综上所述，向量场 $\mathbf{F} = (x, y, 0)$ 通过表面 $\partial D$ 的通量为 $2\pi$。