$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

边界条件：

$$u(0, t) = u(1, t) = 0$$

初始条件：

$$u(x, 0) = 0$$

$$\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0$$

对时域进行拉普拉斯变换。首先，记 $U(x, s)$ 为 $u(x, t)$ 的拉普拉斯变换，即

$$U(x, s) = \int_0^\infty u(x, t) e^{-st} \, dt$$

1. 对方程进行拉普拉斯变换

我们应用拉普拉斯变换的性质，对原方程两边进行拉普拉斯变换： 对 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}$ 进行拉普拉斯变换：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right\} = s^2 U(x, s) - s u(x, 0) - \frac{\partial u}{\partial t}(x, 0)$$

由于初始条件 $u(x, 0) = 0$ 和 $\frac{\partial u}{\partial t}(x, 0) = 0$，我们有：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}\right\} = s^2 U(x, s)$$

对于 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$，因为它与 $t$ 无关，因此在对 $t$ 进行拉普拉斯变换时保持不变：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right\} = \frac{\partial^2 U(x, s)}{\partial x^2}$$

对于 $\sin(\pi t) \sin(\pi x)$，我们有：

$$\mathcal{L}\left\{\sin(\pi t) \sin(\pi x)\right\} = \sin(\pi x) \mathcal{L}\left\{\sin(\pi t)\right\} = \sin(\pi x) \cdot \frac{\pi}{s^2 + \pi^2}$$

将这些结果代入原方程，得到：

$$s^2 U(x, s) = \frac{\partial^2 U(x, s)}{\partial x^2} + \sin(\pi x) \cdot \frac{\pi}{s^2 + \pi^2}$$

整理一下，得到：

$$\frac{\partial^2 U(x, s)}{\partial x^2} - s^2 U(x, s) = -\sin(\pi x) \cdot \frac{\pi}{s^2 + \pi^2}$$

2. 解齐次方程通解

首先考虑齐次方程：

$$\frac{\partial^2 U(x, s)}{\partial x^2} - s^2 U(x, s) = 0$$

这个方程的通解是：

$$U_h(x, s) = A(s) \sinh(sx) + B(s) \cosh(sx)$$

步骤

$$\frac{\partial^2 U(x, s)}{\partial x^2} - s^2 U(x, s) = 0$$

是一个关于$x$的二阶常微分方程，其形式与单摆运动或简谐振子的方程相似。这类方程的标准解法涉及寻找满足该方程的函数形式。

1. 方程形式与求解策略

该方程为二阶线性齐次常系数微分方程，其一般形式为：

$$a \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0$$

在我们的情况下，$a=1, b=0, c=-s^2$。

2. 解的形式

根据常系数线性微分方程的理论，解的形式取决于特征方程的根。对于方程：

$$\frac{d^2 y}{dx^2} - s^2 y = 0$$

其特征方程为：

$$r^2 - s^2 = 0$$

解得：

$$r = \pm s$$

这意味着通解是这两个根的线性组合。

3. 构造通解

根据特征根，我们可以构造解为：

$$y(x) = C_1 e^{sx} + C_2 e^{-sx}$$

利用双曲正弦和双曲余弦函数的定义：

$$\cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$$

我们可以重新表达解为：

$$y(x) = A \sinh(sx) + B \cosh(sx)$$

其中$A$和$B$是新的常数，可以由初始或边界条件确定。

4. 应用到拉普拉斯变换的结果

在拉普拉斯变换的背景下，$U(x, s)$表示的是原函数$u(x, t)$关于时间变量$t$的拉普拉斯变换。$x$作为空间变量，因此通解形式：

$$U(x, s) = A(s) \sinh(sx) + B(s) \cosh(sx)$$

这里的$A(s)$和$B(s)$是依赖于$s$的系数，其形式由具体的物理或数学问题的边界条件决定。

2. 解非齐次方程特解

考虑非齐次项：

$$\frac{\partial^2 U_p(x, s)}{\partial x^2} - s^2 U_p(x, s) = -\sin(\pi x) \cdot \frac{\pi}{s^2 + \pi^2}$$

我们尝试特解形式 $U_p(x, s) = C(s) \sin(\pi x)$，代入方程得到：

$$- \pi^2 C(s) \sin(\pi x) - s^2 C(s) \sin(\pi x) = -\sin(\pi x) \cdot \frac{\pi}{s^2 + \pi^2}$$

因此：

$$C(s) (\pi^2 + s^2) = \frac{\pi}{s^2 + \pi^2}$$

解得：

$$C(s) = \frac{\pi}{(\pi^2 + s^2)^2}$$

所以特解为：

$$U_p(x, s) = \frac{\pi \sin(\pi x)}{(\pi^2 + s^2)^2}$$

4. 构造非齐次方程通解

最终解为齐次解与特解的叠加：

$$U(x, s) = A(s) \sinh(sx) + B(s) \cosh(sx) + \frac{\pi \sin(\pi x)}{(\pi^2 + s^2)^2}$$

边界条件

应用边界条件 $u(0, t) = 0$ 和 $u(1, t) = 0$： 对于 $x = 0$：

$$U(0, s) = B(s) = 0$$

对于 $x = 1$：

$$U(1, s) = A(s) \sinh(s) + \frac{\pi \sin(\pi)}{(\pi^2 + s^2)^2} = 0$$

因为 $\sin(\pi) = 0$，所以：

$$A(s) \sinh(s) = 0$$

由于 $\sinh(s) \neq 0$ 对于 $s \neq 0$，我们得到：

$$A(s) = 0$$

因此：

$$U(x, s) = \frac{\pi \sin(\pi x)}{(\pi^2 + s^2)^2}$$

5. 拉普拉斯逆变换

我们识别到这是已知形式的拉普拉斯变换：

$$\mathcal{L}\left\{t \sin(\pi t)\right\} = \frac{\pi}{(\pi^2 + s^2)^2}$$

所以：

$$u(x, t) = t \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

综上，原偏微分方程的解为：

$$u(x, t) = t \sin(\pi t) \sin(\pi x)$$

细节解释

拉普拉斯变换与偏导数的交换

拉普拉斯变换和偏导数（对空间变量）的交换不是无条件的，它依赖于某些条件的满足。这种交换的可能性取决于函数的性质以及积分和导数的定义域。下面列出了一些使得偏导数与拉普拉斯变换可交换的关键条件：

1. 函数的连续性和可微性：函数 $u(x,t)$ 必须在其定义域内关于 $x$ 和 $t$ 是连续且可微的。

2. 收敛性和增长条件：为了确保交换是合法的，必须保证拉普拉斯变换 $\int_0^\infty u(x,t) e^{-st} \, dt$ 对于每一个固定的 $x$ 都是收敛的。此外，$u(x,t)$ 关于 $x$ 的偏导数也需要满足类似的增长条件，以保证导数后的函数仍然满足拉普拉斯变换的收敛条件。

3. 积分和导数的界限：如果 $u(x,t)$ 和 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 在 $t \to \infty$ 时，随着 $e^{-st}$ 的衰减足够快地趋向于零，那么可以交换积分和偏导数。这意味着函数及其导数的增长速率必须被 $e^{-st}$ 控制。

4. 均匀收敛：偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 的拉普拉斯变换需要 $u(x,t)$ 对 $x$ 的偏导在整个积分区间上均匀收敛。

如果这些条件满足，我们可以安全地交换拉普拉斯变换与对空间变量的偏导数。换句话说，这允许我们写出：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{\partial u}{\partial x}\right\} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\mathcal{L}\{u(x,t)\}\right)$$

这个公式的应用需要确保函数 $u(x,t)$ 和环境满足上述条件。在实际应用中，这些条件的验证是必要的，以保证得到正确和可靠的数学结果。

根据提供的边界条件 $u(0,t) = u(1,t) = 0$ 和初始条件 $u(x,0) = \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 0$，我们可以进一步分析问题。以下是进行判断的关键步骤和依据：

1. 解的形式和性质

对于边界条件和初始条件的特定设置，$u(x,t)$ 可能是一个受限的波动问题的解。特别是，这种类型的问题通常涉及波动方程，解可能表现为行波或驻波。由于解在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 处为零，这提示解可能涉及正弦项或其他周期函数，这些函数在这些边界处自然归零。

2. 解的增长和行为

初始条件 $u(x,0) = \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = 0$ 意味着解从静止状态开始，并且初速度为零。这通常限制了解的初始增长速率，可能使得解随时间的增长更为有界。这对于确定拉普拉斯变换的收敛性是积极的，因为解不会立即或无限制地增长。

3. 拉普拉斯变换的收敛性

使用前述条件，可以假设对于实数 $s > 0$，解 $u(x,t)$ 的拉普拉斯变换 $U(x,s)$ 是收敛的。具体来说，因为初始条件限制了 $t = 0$ 时解和解的时间导数都为零，解的增长可能被较好地控制，从而 $e^{-st}$ 项确保了拉普拉斯变换的积分收敛。

4. 积分与导数的交换

由于 $u(x,t)$ 及其时间导数满足初始条件的控制，并且解的形式可能是周期性的（例如由三角函数组成），这些都有助于积分与导数的交换。特别是，如果解的空间导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 保持有界（这是由解的形式和边界条件暗示的），那么按照 Leibniz 积分规则，对空间变量的导数可以与拉普拉斯变换积分安全交换：

$$\mathcal{L}\left\{\frac{\partial u}{\partial x}\right\} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\int_0^\infty u(x,t)e^{-st}\,dt\right) = \frac{\partial U(x,s)}{\partial x}$$

关键依据

• 收敛性：由于解和其时间导数在 $t = 0$ 时为零，以及解的可能有界增长，这支持了拉普拉斯变换的收敛性。
• 函数的有界性和控制的增长：解的形式（可能包含三角函数等）和边界条件保证了空间导数的有界性。
• 解的形式和周期性：解可能的周期性有助于积分与导数的交换，因为周期函数通常在积分和导数操作下保持良好的性质。

在实际应用中，可能还需要进一步的数值模拟或解析计算来验证这些判断。