傅里叶级数基底线性变换

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为了使用线性代数的方法证明由 $\sin t$，$\cos t$，$\sin 3t$ 和 $\cos 3t$ 构成的空间 $X$ 中的任意元素 $f$ 可以表示为 $\sin t$，$\cos t$，$\sin^3 t$，$\cos^3 t$ 的线性组合，我们可以考虑这些函数构成的向量空间及其基底的变换关系。

首先，我们定义向量空间 $X$ 由以下基底向量生成：

$$\{ \sin t, \cos t, \sin 3t, \cos 3t \}$$

我们需要证明这些基底向量可以表示为新基底向量的线性组合：

$$\{ \sin t, \cos t, \sin^3 t, \cos^3 t \}$$

利用三倍角公式：

$$\sin 3t = 3\sin t - 4\sin^3 t$$

$$\cos 3t = 4\cos^3 t - 3\cos t$$

将这两个公式改写为线性组合的形式：

$$\sin^3 t = \frac{3}{4}\sin t - \frac{1}{4}\sin 3t$$

$$\cos^3 t = \frac{3}{4}\cos t + \frac{1}{4}\cos 3t$$

现在，我们可以构建变换矩阵，将新基底向量 $\{ \sin t, \cos t, \sin 3t, \cos 3t \}$ 表示为 $\{ \sin t, \cos t, \sin^3 t, \cos^3 t \}$ 的线性组合：

设向量 $v$ 表示 $\{ \sin t, \cos t, \sin 3t, \cos 3t \}$，向量 $u$ 表示 $\{ \sin t, \cos t, \sin^3 t, \cos^3 t \}$：

$$v = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \\ \sin 3t \\ \cos 3t \end{pmatrix}$$

$$u = \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \\ \sin^3 t \\ \cos^3 t \end{pmatrix}$$

基于三倍角公式，我们可以写出变换矩阵 $A$，使得 $v = Au$：

$$\begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \\ \sin 3t \\ \cos 3t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sin t \\ \cos t \\ \sin^3 t \\ \cos^3 t \end{pmatrix}$$

因此，对于任意函数 $f(t)$，我们可以表示为 $v$ 的形式：

$$f(t) = a\sin t + b\cos t + c\sin 3t + d\cos 3t$$

用变换矩阵 $A$ 表示：

$$f(t) = a \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + d \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$$

这说明 $f(t)$ 可以表示为 $\{ \sin t, \cos t, \sin^3 t, \cos^3 t \}$ 的线性组合：

$$f(t) = (a + 3c) \sin t + (b - 3d) \cos t + (-4c) \sin^3 t + (4d) \cos^3 t$$

综上所述，通过线性代数的方法，我们证明了由 $\sin t$，$\cos t$，$\sin 3t$ 和 $\cos 3t$ 构成的空间 $X$ 中的任意元素 $f$ 都可以表示为 $\sin t$，$\cos t$，$\sin^3 t$，$\cos^3 t$ 的线性组合。