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82-sc-r3 追試験 問題1 問2

LincDocs2025年2月21日大约 2 分钟数学

(1)

对于极点在积分路径上的情况，直接使用留数定理求解会遇到问题。这里我们将对路径进行处理，使其不经过极点，然后再应用留数定理。具体步骤如下：

  1. 识别奇点： 积分函数为：

    ez3z+πi\frac{e^{\frac{z}{3}}}{z + \pi i}

    奇点在 z=−πiz = -\pi i。

  2. 路径变形： 积分路径 C1C_1 是以 ∣z+πi∣=1|z + \pi i| = 1 表示的圆周。这个路径经过奇点 z=−πiz = -\pi i。为了处理这种情况，我们可以将路径略微变形，使其绕过奇点。在实际操作中，我们可以考虑在奇点附近形成一个小的半圆（绕过奇点），然后再应用留数定理。

  3. 计算主值积分： 我们可以将积分分为两部分：主值积分和绕过奇点的小弧线积分。这里我们仅考虑主值积分的部分，因为绕过奇点的小弧线积分在极限中趋于零。

  4. 应用留数定理： 留数定理告诉我们，绕路径 C1C_1 积分的结果是该路径内部所有奇点的留数之和乘以 2πi2\pi i。

    奇点 z=−πiz = -\pi i 的留数为：

    Res(ez3z+πi,z=−πi)=lim⁡z→−πi(z+πi)⋅ez3z+πi=e−πi3\text{Res}\left(\frac{e^{\frac{z}{3}}}{z + \pi i}, z = -\pi i\right) = \lim_{z \to -\pi i} (z + \pi i) \cdot \frac{e^{\frac{z}{3}}}{z + \pi i} = e^{-\frac{\pi i}{3}}

  5. 计算积分： 由于路径仅包含一个奇点 z=−πiz = -\pi i，应用留数定理：

    ∮C1ez3z+πi dz=2πi⋅e−πi3\oint_{C_1} \frac{e^{\frac{z}{3}}}{z + \pi i} \, dz = 2\pi i \cdot e^{-\frac{\pi i}{3}}

因此，积分的值为：

∮C1ez3z+πi dz=2πi⋅e−πi3\oint_{C_1} \frac{e^{\frac{z}{3}}}{z + \pi i} \, dz = 2\pi i \cdot e^{-\frac{\pi i}{3}}

总结： 当极点位于积分路径上时，通常需要对路径进行适当变形，使其绕过极点，从而可以应用留数定理进行计算。在实际计算中，我们关注路径上的奇点并利用其留数来计算积分。

(2)

To solve the given complex integral using the residue theorem, follow these steps:

  1. Identify the Singularities: The integrand is:

    e−z(z−i)2\frac{e^{-z}}{(z - i)^2}

    The singularity is at z=iz = i.

  2. Determine the Order of the Pole: The singularity at z=iz = i is a pole of order 2.

  3. Residue Calculation: For a pole of order 2, the residue can be found using the formula:

    Res(f,a)=lim⁡z→addz[(z−a)2f(z)]\text{Res}\left(f, a\right) = \lim_{z \to a} \frac{d}{dz}\left[(z-a)^2 f(z)\right]

    In this case, a=ia = i.

    Let's find the residue at z=iz = i:

    f(z)=e−z(z−i)2f(z) = \frac{e^{-z}}{(z - i)^2}

    Res(e−z(z−i)2,z=i)=lim⁡z→iddz[e−z]\text{Res}\left(\frac{e^{-z}}{(z - i)^2}, z = i\right) = \lim_{z \to i} \frac{d}{dz}\left[e^{-z}\right]

    Differentiating e−ze^{-z} with respect to zz:

    ddz[e−z]=−e−z\frac{d}{dz}\left[e^{-z}\right] = -e^{-z}

    Evaluating at z=iz = i:

    Res(e−z(z−i)2,z=i)=−e−i\text{Res}\left(\frac{e^{-z}}{(z - i)^2}, z = i\right) = -e^{-i}

  4. Use the Residue Theorem: The residue theorem states:

    ∮Cf(z) dz=2πi∑Res(f,poles inside C)\oint_{C} f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, \text{poles inside } C)

    Since the only pole inside ∣z∣=2|z| = 2 is at z=iz = i, we have:

    ∮C2e−z(z−i)2 dz=2πi(−e−i)\oint_{C_2} \frac{e^{-z}}{(z - i)^2} \, dz = 2\pi i (-e^{-i})

    =−2πie−i= -2\pi i e^{-i}

Therefore, the value of the integral is:

∮C2e−z(z−i)2 dz=−2πie−i\oint_{C_2} \frac{e^{-z}}{(z - i)^2} \, dz = -2\pi i e^{-i}

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