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第二类曲面积分例题

LincDocs2025年2月21日大约 4 分钟数学

在柱面坐标系下，计算圆柱侧面上的面积元素 dSd\mathbf{S} 是通过表面的参数化和叉积来完成的。下面我们详细讲解计算的每一步。

圆柱体侧面的参数化

假设圆柱的半径为 RR，高度为 HH，我们可以用参数 θ\theta 和 zz 来描述侧面上的点：

r(θ,z)=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,z)\mathbf{r}(\theta, z) = (R \cos \theta, R \sin \theta, z)

其中：

  • θ\theta 是围绕圆柱轴的角度，取值范围是 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi。
  • zz 是圆柱的高度，取值范围是 0≤z≤H0 \leq z \leq H。

计算偏导数

接下来，我们计算参数化表面在 θ\theta 和 zz 方向上的偏导数：

对 θ\theta 求偏导数：

∂r∂θ=∂∂θ(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,z)=(−Rsin⁡θ,Rcos⁡θ,0)\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(R \cos \theta, R \sin \theta, z) = (-R \sin \theta, R \cos \theta, 0)

对 zz 求偏导数：

∂r∂z=∂∂z(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,z)=(0,0,1)\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(R \cos \theta, R \sin \theta, z) = (0, 0, 1)

计算叉积

为了得到法向量，我们需要计算这两个偏导数向量的叉积：

∂r∂θ×∂r∂z=∣ijk−Rsin⁡θRcos⁡θ0001∣\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -R \sin \theta & R \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

通过计算行列式得到：

∂r∂θ×∂r∂z=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0)\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = (R \cos \theta, R \sin \theta, 0)

面积元素

叉积的结果即为法向量，其方向垂直于表面，大小为 RR（即叉积结果的模）。因此，面积元素可以表示为：

dS=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0) dθ dzd\mathbf{S} = (R \cos \theta, R \sin \theta, 0) \, d\theta \, dz

注意这里的 dθ dzd\theta \, dz 表示在参数空间中的面积微元。

最终表达式

所以，对于圆柱侧面上的面积元素 dSd\mathbf{S}，我们得到了：

dS=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0) R dθ dzd\mathbf{S} = (R \cos \theta, R \sin \theta, 0) \, R \, d\theta \, dz

这个表达式表示的是在柱面坐标系下，圆柱侧面上的微小面积元 dSd\mathbf{S} 的方向和大小。方向由向量 (Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0)(R \cos \theta, R \sin \theta, 0) 给出，大小由 RR 和参数微元 dθ dzd\theta \, dz 决定。

∂r∂θ\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} 和 ∂r∂z\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} 是向量。先对向量计算偏导数，再通过叉积得到法向量。

圆柱侧面的参数化

假设圆柱的半径为 RR，高度为 HH，用参数 θ\theta 和 zz 来描述侧面上的点：

r(θ,z)=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,z)\mathbf{r}(\theta, z) = (R \cos \theta, R \sin \theta, z)

其中：

  • θ\theta 是围绕圆柱轴的角度，取值范围是 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi。
  • zz 是圆柱的高度，取值范围是 0≤z≤H0 \leq z \leq H。

计算偏导数

我们计算参数化表面在 θ\theta 和 zz 方向上的偏导数：

对 θ\theta 求偏导数：

∂r∂θ=∂∂θ(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,z)=(−Rsin⁡θ,Rcos⁡θ,0)\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial \theta}(R \cos \theta, R \sin \theta, z) = (-R \sin \theta, R \cos \theta, 0)

对 zz 求偏导数：

∂r∂z=∂∂z(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,z)=(0,0,1)\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(R \cos \theta, R \sin \theta, z) = (0, 0, 1)

计算叉积

为了得到法向量，我们需要计算这两个偏导数向量的叉积：

∂r∂θ×∂r∂z=∣ijk−Rsin⁡θRcos⁡θ0001∣\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -R \sin \theta & R \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}

通过计算行列式得到：

∂r∂θ×∂r∂z=i(Rcos⁡θ⋅1−0⋅0)−j(−Rsin⁡θ⋅1−0⋅0)+k(−Rsin⁡θ⋅0−Rcos⁡θ⋅0)\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial z} = \mathbf{i}(R \cos \theta \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}( -R \sin \theta \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}( -R \sin \theta \cdot 0 - R \cos \theta \cdot 0)

=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0)= (R \cos \theta, R \sin \theta, 0)

面积元素

叉积的结果即为法向量，其方向垂直于表面。面积元素可以表示为：

dS=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0) dθ dzd\mathbf{S} = (R \cos \theta, R \sin \theta, 0) \, d\theta \, dz

注意这里的 dθ dzd\theta \, dz 表示在参数空间中的面积微元。

总结

所以，对于圆柱侧面上的面积元素 dSd\mathbf{S}，我们得到了：

dS=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0) R dθ dzd\mathbf{S} = (R \cos \theta, R \sin \theta, 0) \, R \, d\theta \, dz

这个表达式表示的是在柱面坐标系下，圆柱侧面上的微小面积元 dSd\mathbf{S} 的方向和大小。方向由向量 (Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0)(R \cos \theta, R \sin \theta, 0) 给出，大小由 RR 和参数微元 dθ dzd\theta \, dz 决定。

总结中的表达有误。正确的面积元素应该是：

dS=(Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0) dθ dzd\mathbf{S} = (R \cos \theta, R \sin \theta, 0) \, d\theta \, dz

表示在柱面坐标系下的面积微元 dSd\mathbf{S} 的方向和大小，方向由向量 (Rcos⁡θ,Rsin⁡θ,0)(R \cos \theta, R \sin \theta, 0) 给出，大小由 RR 和参数微元 dθ dzd\theta \, dz 决定。

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