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通量的积分计算细节

LincDocs2025年2月21日大约 4 分钟数学

对于您提出的问题，涉及到的不等式是：

  1. x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1，表示一个单位圆柱体。
  2. 0≤z≤h(1−x−y)0 \leq z \leq h(1 - x - y)，这是一个由平面 z=h(1−x−y)z = h(1 - x - y) 和 z=0z = 0 平面界定的区域。

要找到这两个形状相交部分的体积，可以通过设置适当的积分边界并在适当的坐标系统中计算积分来解决。这里我们采用柱坐标系统来简化积分计算。

首先将 xx 和 yy 转换为柱坐标：

  • x=rcos⁡θx = r \cos \theta
  • y=rsin⁡θy = r \sin \theta

这使得 x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1 变为 r2≤1r^2 \leq 1，即 0≤r≤10 \leq r \leq 1。对于 zz 的范围，我们有：

  • 0≤z≤h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)0 \leq z \leq h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)

因此，相交体积可以通过以下三重积分求得：

V=∫02π∫01∫0h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)r dz dr dθV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)} r \, dz \, dr \, d\theta

计算 zz 积分：

∫0h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)dz=h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)\int_0^{h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)} dz = h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)

然后对 rr 和 θ\theta 进行积分：

V=h∫02π∫01r(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ) dr dθV = h \int_0^{2\pi} \int_0^1 r(1 - r \cos \theta - r \sin \theta) \, dr \, d\theta

将积分分解并计算：

V=h∫02π(∫01r dr−∫01r2cos⁡θ dr−∫01r2sin⁡θ dr)dθV = h \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 r \, dr - \int_0^1 r^2 \cos \theta \, dr - \int_0^1 r^2 \sin \theta \, dr \right) d\theta

由于积分中包含 cos⁡θ\cos \theta 和 sin⁡θ\sin \theta，在 [0,2π][0, 2\pi] 上这些函数的对称性导致对应的积分为 0。计算剩余的 rr 积分：

∫01r dr=12\int_0^1 r \, dr = \frac{1}{2}

因此，体积积分变为：

V=h⋅2π⋅12=πhV = h \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} = \pi h

最终，相交的体积 VV 是：

V=πhV = \pi h

这是在单位圆柱体与线性下降平面之间相交部分的体积。

在从笛卡尔坐标系 x,yx, y 转换到柱坐标 r,θr, \theta 时，确实需要考虑雅可比行列式 JJ，它代表坐标变换的面积元素缩放因子。雅可比行列式用于计算积分中的 dx dydx \, dy 到 dr dθdr \, d\theta 的转换。

对于变换：

  • x=rcos⁡θx = r \cos \theta
  • y=rsin⁡θy = r \sin \theta

雅可比行列式 JJ 是由以下雅可比矩阵的行列式给出：

J=∣∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ∣J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta} \\ \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta} \end{vmatrix}

计算每个偏导：

  • ∂x∂r=cos⁡θ\frac{\partial x}{\partial r} = \cos \theta
  • ∂x∂θ=−rsin⁡θ\frac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin \theta
  • ∂y∂r=sin⁡θ\frac{\partial y}{\partial r} = \sin \theta
  • ∂y∂θ=rcos⁡θ\frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos \theta

将这些偏导数代入雅可比矩阵，并计算行列式：

J=∣cos⁡θ−rsin⁡θsin⁡θrcos⁡θ∣J = \begin{vmatrix} \cos \theta & -r \sin \theta \\ \sin \theta & r \cos \theta \end{vmatrix}

行列式计算为：

J=(cos⁡θ)(rcos⁡θ)−(−rsin⁡θ)(sin⁡θ)=rcos⁡2θ+rsin⁡2θ=r(cos⁡2θ+sin⁡2θ)=rJ = (\cos \theta)(r \cos \theta) - (-r \sin \theta)(\sin \theta) = r \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta = r(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r

因此，雅可比行列式 J=rJ = r，表明在转换为柱坐标时，面积元 dx dydx \, dy 转换为 r dr dθr \, dr \, d\theta。

于是，体积的积分表达式应该包括这个雅可比行列式，即：

V=∫02π∫01∫0h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)r dz r dr dθV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)} r \, dz \, r \, dr \, d\theta

再次计算这个积分：

∫0h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)dz=h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)\int_0^{h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)} dz = h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)

V=h∫02π∫01r2(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ) dr dθV = h \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 (1 - r \cos \theta - r \sin \theta) \, dr \, d\theta

这个积分在包括 r2r^2 的项时会稍微复杂一些，但计算方法类似。我们必须对 r2cos⁡θr^2 \cos \theta 和 r2sin⁡θr^2 \sin \theta 进行积分，并利用对称性简化计算。如果需要这部分的详细积分计算步骤，请告知！

在多重积分中，积分变量的顺序通常可以在满足特定条件下交换。这些条件主要关注积分的边界是否相互独立。

对于问题中的积分：

V=∫02π∫01∫0h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)r dz dr dθV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)} r \, dz \, dr \, d\theta

这里的积分变量 z,r,θz, r, \theta 的边界具有如下性质：

  1. zz 的上界 h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta) 依赖于 rr 和 θ\theta。
  2. rr 的界限（0到1）是固定的，与 θ\theta 无关。
  3. θ\theta 的界限（0到2π2\pi）是固定的，与其他变量无关。

在这种情况下，可以交换 rr 和 θ\theta 的积分顺序，因为它们之间是相互独立的。但是，zz 的积分必须保持在内层，因为它依赖于 rr 和 θ\theta 的值。

换句话说，你可以交换 rr 和 θ\theta 的积分顺序，但 zz 的积分顺序应保持在最内侧。以下是有效的交换方式之一：

V=∫02π∫01∫0h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)r dz dr dθV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)} r \, dz \, dr \, d\theta

可以变为：

V=∫01∫02π∫0h(1−rcos⁡θ−rsin⁡θ)r dz dθ drV = \int_0^1 \int_0^{2\pi} \int_0^{h(1 - r \cos \theta - r \sin \theta)} r \, dz \, d\theta \, dr

这里 rr 和 θ\theta 的积分顺序交换了，但 zz 的积分仍然在最内侧。这种交换是因为 rr 和 θ\theta 的边界相互独立，而 zz 的边界则依赖于 rr 和 θ\theta。

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