复系数非齐次线性微分方程例题

给定一个具有特定非齐次项 $g(z) = R(s) \sin(wx)$ 的复系数非齐次线性微分方程，其中 $R(s) = -\frac{\pi}{s^2 + \pi^2}$ 并且 $s = a + bi$，我们可以采用待定系数法来寻找特解。这种方法适用于非齐次项是周期函数（如正弦或余弦）的情况。

方程形式与待定系数法

假设微分方程的形式为：

$$a(z) \frac{d^2y}{dz^2} + b(z) \frac{dy}{dz} + c(z) y = R(s) \sin(wx)$$

其中 $a(z)$, $b(z)$, 和 $c(z)$ 是关于复变量 $z$ 的复系数函数。要找到特解，我们可以假设解的形式与非齐次项类似但带有待定系数：

解的假设

假设特解的形式为：

$$y_p(z) = A \cos(wx) + B \sin(wx)$$

其中 $A$ 和 $B$ 是待定的复数系数。

方程代入与系数求解

将 $y_p(z)$ 代入微分方程，计算其一阶和二阶导数：

$$\frac{dy_p}{dz} = -wA \sin(wx) + wB \cos(wx)$$

$$\frac{d^2y_p}{dz^2} = -w^2A \cos(wx) - w^2B \sin(wx)$$

然后，将 $y_p(z)$, $\frac{dy_p}{dz}$, 和 $\frac{d^2y_p}{dz^2}$ 代入原微分方程，我们得到：

$$a(z)(-w^2A \cos(wx) - w^2B \sin(wx)) + b(z)(-wA \sin(wx) + wB \cos(wx)) + c(z)(A \cos(wx) + B \sin(wx)) = R(s) \sin(wx)$$

对应角频率项的系数，从而建立关于 $A$ 和 $B$ 的方程。通常，这需要把所有的余弦项和正弦项分别对齐，然后解一个线性方程组。

系数线性方程组

你会得到两个方程，一个涉及所有的 $\cos(wx)$ 项，另一个涉及所有的 $\sin(wx)$ 项。这些方程通常形式为：

$$\text{系数 of } \cos(wx) = 0 \\ \text{系数 of } \sin(wx) = R(s)$$

通过解这个线性方程组，你可以找到 $A$ 和 $B$ 的值。通常，由于原方程和非齐次项的复杂性，这可能需要符号计算软件的帮助来处理复系数的代数操作。

结果与验证

找到 $A$ 和 $B$ 后，将它们代回假设的解形式中得到特解 $y_p(z)$。最后，验证 $y_p(z)$ 是否确实满足原微分方程是一个好习惯，特别是在手动计算过程中，以确保没有计算错误。

这种方法提供了一个系统的方式来处理具有特定形式非齐次项的复系数微分方程，尤其是当非齐次项是周期性函数时。