求变换的线性表示

为了计算矩阵 $N$ 的线性表示，使得 $B = N[a_1, a_2, a_3, a_4]^T$，我们首先需要明确向量 $B$ 和向量 $[a_1, a_2, a_3, a_4]^T$ 的关系。根据您给出的关系式：

$$B = [-a_2, a_1, -3a_4, 3a_3] = N[a_1, a_2, a_3, a_4]^T$$

我们可以直接构建矩阵 $N$ 来实现这个线性变换。

步骤 1: 理解变换

给出的关系式表示矩阵 $N$ 将向量 $[a_1, a_2, a_3, a_4]^T$ 转换为向量 $[-a_2, a_1, -3a_4, 3a_3]^T$。每个组件的线性变换可以由 $N$ 中的对应行来表示。

步骤 2: 构造矩阵 $N$

要使得 $N$ 能够实现上述变换，我们需要对 $N$ 的每一行进行构造，使其能够产生 $B$ 中的对应元素。考虑到：

• $B_1 = -a_2$ 可由 $[0, -1, 0, 0]$ 与 $[a_1, a_2, a_3, a_4]$ 的点积得到。
• $B_2 = a_1$ 可由 $[1, 0, 0, 0]$ 与 $[a_1, a_2, a_3, a_4]$ 的点积得到。
• $B_3 = -3a_4$ 可由 $[0, 0, 0, -3]$ 与 $[a_1, a_2, a_3, a_4]$ 的点积得到。
• $B_4 = 3a_3$ 可由 $[0, 0, 3, 0]$ 与 $[a_1, a_2, a_3, a_4]$ 的点积得到。

由此，矩阵 $N$ 可以表示为：

$$N = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{bmatrix}$$

结论

构造出的矩阵 $N$ 正是您要求的矩阵，它能将向量 $[a_1, a_2, a_3, a_4]^T$ 线性变换为向量 $[-a_2, a_1, -3a_4, 3a_3]^T$。这种构造方式直接从变换的要求出发，通过设置适当的系数来实现每个元素的目标转换。