専門試験

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専門試験

問題１

問１

(1)

次の極限値を求めよ。

\lim_{ n \to 0 } \dfrac{x-\log_{e}(1+x)}{x^2}

(2)

実数 $x$ , $y$ , $z$ が $xy+yz+zx=k^2$ (ただし、 $x>0$ , $y>0$ , $z>0$ , $k>0$ )を満たすとき、 $xyz$ の最大値を求めよ。

問２

次の実関数 $f(t)$ (ただし、 $t>0$ )について、以下の問に答えよ

f(t)=\int_{0}^{t} e^{ -\tau }\cos \omega \tau\, d\tau

(1)

$f(t)$ のラプラス変換 $F(S)$ を求めよ。ラプラス変換は次式で定義される。ただし， $Re(𝑠) > 0$ とする。 $Re(𝑠)$ は複素数 $𝑠$ の実部を表す

問３

3 次元空間に直交座標系 $O-xyz$ をとる。 $x^2 + y^2 \leq 1$ , $0 \leq z \leq ℎ (1 − x − y)$ で定められる立体 C について，以下の問に答えよ。ただし， $ℎ \geq 0$ とする。

(1)

立体 C のうち， $x \geq 0$ , $y \geq 0$ で定められる領域の体積 $V1$ を求めよ。

問題2

問1

2阶正方矩阵 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ 有关的問題：

某点以角速度 $\omega$ （ $\omega > 0$ ）在三维空间内进行等速圆周运动。回转轴通过原点 $O$ ，并用单位向量 $\vec{p}$ 表示。设这个旋转点在时刻 $t$ 的位置为 $\vec{x}(t)$ 。使用3阶正方矩阵 $C$ 来表示，点的速度可以表示为 $\frac{d\vec{x}(t)}{dt} = C\vec{x}(t)$ 。请用 $\vec{p} = (p_1, p_2, p_3)^T$ 中的元素 $p_i$ (i = 1, 2, 3) 和角速度 $\omega$ 来表示矩阵 $C$ 。行列的转置表示为 $A^T$ 。

問2解

82-sc-r4 問題2 問2

問3

$X$ 是实反对称矩阵，即 $X^T = -X$ 。定义 $y = \exp(X)$ ，其中 $\exp(X)$ 为 $\exp(X) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{X^n}{n!}$ 。

(1)

求 $y$ 的行列式 $\det(y)$ 。假设实反对称矩阵可以对角化，其非零固有值为纯虚数，成对出现，如 $\pm \lambda_1, \pm \lambda_2, \ldots$ 。

(2)

求 $YY^T$ 和 $Y^T Y$ 。

問3解

82-sc-r4 問題2 問3

問題3

問1

给定概率变量 $X$ 的概率密度函数 $p(x)$ ，其矩量母函数 $M(\theta)$ 定义为 $M(\theta) = E[\exp(\theta X)] = \int_{-\infty}^{\infty} \exp(\theta x) p(x) dx$ 。并且，正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的概率密度函数 $p_N(x)$ 定义为 $p_N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$ 。

(1)

导出正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ 的矩量母函数 $M_N(\theta)$ ，表达式为 $M_N(\theta) = \exp\left(\mu\theta + \frac{\sigma^2 \theta^2}{2}\right)$ 。

(2)

假设 $X_1, X_2$ 分别独立地遵循正态分布 $N(\mu_1, \sigma_0^2), N(\mu_2, \sigma_0^2)$ 。定义 $y = X_1 + X_2$ ， $Z = X_1 - X_2$ ，求其矩量母函数 $M_y(\theta), M_Z(\theta)$ ，并由此推导出 $\mu_1, \mu_2, \sigma_0^2$ 。

問2

给定事件 $A$ 和 $B$ 的先验（边际）概率 $P(A)$ 和 $P(B)$ ，以及条件概率 $P(B|A)$ 和 $P(A|B)$ ，使用贝叶斯定理可以表达它们的关系。

(1)

在某疾病引发的大规模流行病中，人口中有50%感染了该病。开发了一种检测试剂 $X$ ，能够将60%的感染者检测为阳性，而4%的未感染者会被误判为阳性。求使用 $X$ 检测结果为阳性时，实际感染该病的概率。

(2)

流行病得到控制后，感染者比例降至5%。若要确保使用 $X$ 检测得出的阳性结果的确信度超过90%，则需要连续多少次检测结果均为阳性，以及相关的原因。假设各次检测是独立的。

解

82-sc-r4 問題3 問2

問題4

問1

求解以下关于实函数 $u(t)$ 的微分方程，其中 $u(0) = 0$ ：

\frac{du}{dt} = 6u - 7e^{2t}

問2

求解以下关于实函数 $u_1(t), u_2(t)$ 的联立微分方程，其中 $u_1(0) = \frac{37}{3}$ , $u_2(0) = \frac{5}{3}$ ：

\frac{du_1}{dt} = 6u_1 + 4u_2 - 7e^{2t}

\frac{du_2}{dt} = 2u_1 + 4u_2 - 5e^{2t}

追試験

問題1

問1

(1)

次の関数 $y(x)$ の導関数 $\frac{d}{dx}y(x)$ を求めよ。

y(x)=\sqrt{\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}}

(2)

xy平面内で次式で表される曲線の長さを求めよ。ただし, 𝑎𝑎 は正の定数， $0 \leq \theta \leq 2\pi$ とする。

x(\theta) = a(\theta − sin \theta), y(\theta) = a(1 − cos \theta)

82-sc-r4 追試験問題1 問1 (2)

問2

３次元空間に直行座標系 $O-xyz$ をとる。

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\geq z

x^2+y^2\leq c^2

z\geq 0

で定められる領域の体積を求めよ。ただし、 $a$ , $b$ , $c$ は正の実定数とする 82-sc-r4 追試験問題1 問2

問題2

给定 $m \times n$ 矩阵 $W$ 和 $n$ 维向量 $x$ ，以及 $m$ 维向量 $b$ ，以下是具体的子问题：

(1)

假设 $a$ 是一个实数，矩阵 $W$ 和向量 $b$ 定义如下： $W = \begin{bmatrix} 1 & a^3 & a^2 \\ a^3 & 1 & a \\ a^2 & a & 1 \end{bmatrix}$ , $b = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$ 找到 $a$ 的值，使得线性方程组 $Wx = b$ 有至少一个解，并描述这些 $a$ 的条件。

(2)

在 (1) 中，如果 $Wx = b$ 的解不是唯一的，给出解的一般形式。

(3)

如果 $m > n$ ，通常不可能找到精确解 $Wx = b$ 。因此，定义损失函数 $L(x) = \frac{1}{2} ||Wx - b||^2$ ，目标是最小化这个损失函数来找到 $x$ 的近似解。如果已知 $W$ 的秩为 $n$ ，描述如何用 $W$ 和 $b$ 表达出使 $L(x)$ 最小的 $x$ 。

問題3

T 工業大学のエヌ氏は，個人の幸福度を計測できる 2 種類のセンサ H とΩを開発した。センサ H は，1000 回を 1 セットとした幸福度計測を，計測対象者の幸福度が変化しないとみなせる短時間で，かつ非接触で実施できる。この際，各回の計測は正規分布に従う誤差を伴うことが分かっている。一方，センサΩは接触型センサではあるが，1 回で幸福度の正確な計測が可能である。エヌ氏は，研究室の学生１名に対し，これら 2 種類のセンサを用いて，同時に幸福度を計測する実験を行った。この実験について，以下の問に答えよ。なお，幸福度はスカラーの実数値として計測され，その単位は Bh とする

問1

センサ H の計測結果１セット分から無作為抽出した 5 回分の標本（ID: 1～5）を表 1 に示す。

(1)

標本平均，および不偏分散（標本不偏分散）を求めよ。

(2)

母平均，および母分散の最尤推定値を求めよ。いずれも，必要に応じて四捨五入して，小数点以下第 1 位までの値で答えよ

問2

センサΩの計測結果は $24.0 [Bh]$ であった。センサΩは真値を出力すると仮定し，センサ H が正しく幸福度を計測しているといえるか，適切な検定方法を用いて，有意水準 𝛼 = 0.05 で検定せよ。必要に応じて，表 A～C に記載の標準正規分布，𝑡 分布， 𝜒 2 分布のパーセント点表を用いよ

問題4

２つの独立変数 $x$ , $y$ の関数 $u(x,y)$ が以下の偏微分方程式および境界条件を満たすとする。偏微分方程式

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 \tag{1}

$0\leq x \leq2$ , $0\leq y \leq 3$ 境界条件

u(0,y)=u(2,y)=0

u(x,3)=0 ,\quad u(x,0)=f(x)

ここで $f(x)$ は $x$ の関数である。 $u(x,y)$ を求めたい。以下の問に答えよ。なお $u(x,y)$ は恒等的に 0 ではない

問1

$x$ のみの関数 $g(x)$ および $y$ のみの関数 $h(y)$ を考え， $u=g(x)h(y)$ を仮定し，式(1) に代入すると $\frac{g''(x)}{g(x)}=-\frac{h''(y)}{h(y)}$ となるが，この左辺および右辺はそれぞれ $x$ のみおよび $y$ のみの関数であるので，この左辺および右辺は定数となる。この定数を $\lambda$ としたとき， $\lambda$ が負になることを証明せよ。

問2

以下は $u(x,y)$ を求める手順を述べたものである。 $① \sim ③$ の空欄に当てはまる数式を答えよ。偏微分方程式 $(1)$ の解は，

u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty C_ng_n(x)h_n(y) \tag{2}

の形で書けるとする。ただし $n$ は整数である。 $g_n(x)$ は，問１の結果と，境界条件 $g(0)=g(2)=0$ から， $g_n(x)=\boxed{　①　}$ と求まる（ただし全体にかかる任意係数は省略した形で $h_n(y)$ については，同じく全体にかかる任意係数は省略した形で， $h_n(y)=\sinh(\boxed{　②　})$ と求まる。さらに，式(2)の係数 $C_n$ を求めるためには，境界条件の $f(x)$ を式 $(2)$ のような形に置き換えればよい。そこで， $f(x)$ を区間 $[−2, 2]$ で 1 周期として $(-\infty,\infty)$ まで接続し，境界条件も考慮してフーリエ級数展開すると，

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\sin(\frac{n\pi x}{2})\int_0^2 f(\tau)\sin(\frac{n\pi\tau}{2})d\tau \tag{3}

を得る。式(2)と式(3)を見比べれば， $C_n=\boxed{　③　}$ と求まり， $u(x,y)$ が求まる

82-sc-r4 追試験問題4

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82-sc-r4 問題2 問2

82-sc-r4 追試験問題1 問2