(1)

要求函数$f(x) = (1+x)^\alpha$的麦克劳林级数，我们可以使用二项式定理展开，当$|x| < 1$时，该级数收敛。二项式定理给出：

$$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty \binom{\alpha}{n} x^n$$

其中，二项式系数$\binom{\alpha}{n}$可以表示为：

$$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$

对于$n=0$，二项式系数$\binom{\alpha}{0} = 1$，因此：

$$(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots$$

这是$f(x) = (1+x)^\alpha$的麦克劳林级数展开。

(2)

参数 $\alpha$ 的值会影响 $(1+x)^\alpha$ 的麦克劳林级数展开的形式和收敛范围：

1. $\alpha$ 的正负和整数性：

   • 当 $\alpha$ 是正整数时，级数展开后的项数是有限的，因为从某个$n$开始，二项式系数 $\binom{\alpha}{n}$ 将为零（当 $n > \alpha$ 时）。
   • 当 $\alpha$ 是负整数或非整数时，级数是无限的。对于负整数，二项式系数不会归零；对于非整数，$\binom{\alpha}{n}$ 包含了阶乘的逆，因此无法简单归零。

2. 收敛范围：

   • 对于任何实数 $\alpha$，级数在 $|x| < 1$ 的开区间内收敛。这是因为当 $x$ 接近 1 或 -1 时，$(1+x)^\alpha$ 可能会变得无界（特别是 $\alpha$ 为负数时），或者会有其他不规则的行为，如发散或震荡。
   • 当 $x = -1$ 时，$(1+x)^\alpha = 0^\alpha$ 可能会是未定义的，特别是对于非整数 $\alpha$。

因此，$\alpha$ 的值不仅影响系数的计算，还决定了级数的形式和收敛的行为。对于具体的 $\alpha$ 值，级数的具体形式和行为可能会有显著的不同。当探讨函数 $(1+x)^\alpha$ 的麦克劳林级数时，我们可以根据 $\alpha$ 的不同值和 $x$ 的范围进行分类讨论。这里，我们将主要关注 $\alpha$ 是整数还是非整数，以及 $x$ 的值如何影响级数的收敛性：

1. $\alpha$ 是正整数

• 级数形式：级数将有限，因为当 $n > \alpha$ 时，二项式系数 $\binom{\alpha}{n} = 0$。
• 收敛范围：对所有 $x \in \mathbb{R}$ 收敛，因为展开仅包含有限项。

2. $\alpha$ 是零或负整数

• 级数形式：级数是无限的，每个项都有贡献。
• 收敛范围：
  • 当 $\alpha = 0$ 时，$(1+x)^0 = 1$，这是一个常数，对所有 $x$ 都成立。
  • 当 $\alpha$ 是负整数时，级数在 $|x| < 1$ 内收敛。对于 $x = -1$，函数可能未定义，特别是当 $\alpha$ 是负奇数时。

3. $\alpha$ 是非整数

• 级数形式：级数是无限的，包含无限多项。
• 收敛范围：通常在 $|x| < 1$ 内收敛，因为级数在这个区间内满足绝对和收敛的条件。

4. $x$ 的特殊值对收敛的影响

• $x = -1$：此时 $(1+x)^\alpha = 0^\alpha$，需要特别注意 $\alpha$ 的值：
  • 如果 $\alpha > 0$，结果为 0。
  • 如果 $\alpha = 0$，按照约定，$0^0 = 1$。
  • 如果 $\alpha < 0$，结果是未定义的，因为涉及到分母为零的情况。
• $x = 1$：此时 $(1+x)^\alpha = 2^\alpha$，对所有 $\alpha$ 值均有定义且是一个确定的实数值。

5. 收敛速度和级数的行为

• 收敛速度和级数的行为可能会因 $\alpha$ 的具体值而有所不同，尤其是当 $\alpha$ 接近整数但不是整数时，收敛可能较慢。

通过这种分类，我们可以更细致地理解 $(1+x)^\alpha$ 的麦克劳林级数在不同参数条件下的行为和适用范围。