应用三倍角公式进行傅里叶级数分解

傅立叶级数用于将周期函数表示为正弦和余弦函数的无限和。对于非线性三角函数，如 $\sin^3(t)$，我们可以通过使用三角恒等式将其简化为基本的正弦和余弦函数的组合，进而写出其傅立叶级数。

三角恒等式

首先，我们利用三角恒等式来简化 $\sin^3(t)$。可以使用下列恒等式：

$$\sin^3(t) = \left(\frac{3\sin(t) - \sin(3t)}{4}\right)$$

这个公式可以通过扩展 $\sin(3t)$ 的倍角公式得到：

$$\sin(3t) = 3\sin(t) - 4\sin^3(t)$$

解这个方程式，我们得到 $\sin^3(t)$ 的表达式：

$$\sin^3(t) = \frac{3\sin(t) - \sin(3t)}{4}$$

傅立叶级数的表示

上述表达式已经是傅立叶级数的形式，因为它表示为一系列正弦函数的和。对于 $\sin^3(t)$，其傅立叶级数为：

$$\sin^3(t) = \frac{3}{4}\sin(t) - \frac{1}{4}\sin(3t)$$

这表明 $\sin^3(t)$ 可以表示为频率为 $t$ 和 $3t$ 的正弦波的线性组合，其中 $\sin(t)$ 的系数为 $\frac{3}{4}$，$\sin(3t)$ 的系数为 $-\frac{1}{4}$。

结论

$\sin^3(t)$ 的傅立叶级数非常简洁，仅包含两项：一个基频的正弦项和三倍频的正弦项。这种表示形式非常有用，尤其是在信号处理和波形分析中，因为它允许我们直接看到构成复杂波形的基本频率成分。