82-sc-r4 問題3 問2

(1) 让我们假设总人口为 $N$。

首先，我们定义以下变量：

• 罹患病的人口比例为 $p = \frac{1}{2} = 0.5$。
• 罹患病的人被检测为阳性的概率为 $P(\text{阳性}|\text{罹患}) = 0.6$。
• 没有罹患病的人被错误检测为阳性的概率为 $P(\text{阳性}|\text{未罹患}) = 0.04$。

现在，我们需要计算在检测阳性的情况下，实际罹患的概率，即 $P(\text{罹患}|\text{阳性})$。根据贝叶斯定理，我们有：

$$P(\text{罹患}|\text{阳性}) = \frac{P(\text{阳性}|\text{罹患}) \cdot P(\text{罹患})}{P(\text{阳性})}$$

其中，$P(\text{阳性})$ 可以通过全概率公式计算得到：

$$P(\text{阳性}) = P(\text{阳性}|\text{罹患}) \cdot P(\text{罹患}) + P(\text{阳性}|\text{未罹患}) \cdot P(\text{未罹患})$$

$$= 0.6 \cdot 0.5 + 0.04 \cdot 0.5$$

$$= 0.3 + 0.02$$

$$= 0.32$$

因此，

$$P(\text{罹患}|\text{阳性}) = \frac{0.6 \cdot 0.5}{0.32} = \frac{0.3}{0.32} = \frac{30}{32} = \frac{15}{16} \approx 0.9375$$

所以，当检测结果为阳性时，实际罹患的概率约为 93.75%。

(2) 现在假设罹患病的人口比例下降到 5%，即 $p = 0.05$。

我们仍然使用贝叶斯定理计算初次检测阳性时的实际罹患概率：

$$P(\text{罹患}|\text{阳性}) = \frac{P(\text{阳性}|\text{罹患}) \cdot P(\text{罹患})}{P(\text{阳性})}$$

$P(\text{阳性})$ 现在为：

$$P(\text{阳性}) = P(\text{阳性}|\text{罹患}) \cdot P(\text{罹患}) + P(\text{阳性}|\text{未罹患}) \cdot P(\text{未罹患})$$

$$= 0.6 \cdot 0.05 + 0.04 \cdot 0.95$$

$$= 0.03 + 0.038$$

$$= 0.068$$

因此，

$$P(\text{罹患}|\text{阳性}) = \frac{0.6 \cdot 0.05}{0.068} = \frac{0.03}{0.068} \approx 0.4412$$

所以，初次检测阳性时，实际罹患的概率约为 44.12%。

我们需要多次检测阳性后，使罹患概率达到 90%以上。假设每次检测都是独立的，那么检测 n 次阳性后的罹患概率为：

$$P(\text{罹患}|\text{n 次阳性}) = \frac{P(\text{n 次阳性}|\text{罹患}) \cdot P(\text{罹患})}{P(\text{n 次阳性})}$$

其中，

$$P(\text{n 次阳性}) = P(\text{n 次阳性}|\text{罹患}) \cdot P(\text{罹患}) + P(\text{n 次阳性}|\text{未罹患}) \cdot P(\text{未罹患})$$

我们计算连续 n 次阳性的概率：

$$P(\text{n 次阳性}|\text{罹患}) = 0.6^n$$

$$P(\text{n 次阳性}|\text{未罹患}) = 0.04^n$$

因此，

$$P(\text{n 次阳性}) = 0.6^n \cdot 0.05 + 0.04^n \cdot 0.95$$

目标是：

$$P(\text{罹患}|\text{n 次阳性}) \geq 0.9$$

所以：

$$\frac{0.6^n \cdot 0.05}{0.6^n \cdot 0.05 + 0.04^n \cdot 0.95} \geq 0.9$$

解这个不等式：

$$0.6^n \cdot 0.05 \geq 0.9 \cdot (0.6^n \cdot 0.05 + 0.04^n \cdot 0.95)$$

$$0.6^n \cdot 0.05 \geq 0.54 \cdot 0.6^n \cdot 0.05 + 0.036 \cdot 0.04^n \cdot 0.95$$

$$0.6^n \cdot 0.05 - 0.54 \cdot 0.6^n \cdot 0.05 \geq 0.036 \cdot 0.04^n \cdot 0.95$$

$$0.046 \cdot 0.6^n \cdot 0.05 \geq 0.036 \cdot 0.04^n \cdot 0.95$$

$$0.046 \cdot 0.6^n \geq 0.036 \cdot 0.04^n \cdot 0.95 / 0.05$$

$$0.046 \cdot 0.6^n \geq 0.036 \cdot 19 \cdot 0.04^n$$

$$0.046 \cdot 0.6^n \geq 0.684 \cdot 0.04^n$$

$$\frac{0.046}{0.684} \geq \left( \frac{0.04}{0.6} \right)^n$$

$$\frac{0.046}{0.684} \geq \left( \frac{1}{15} \right)^n$$

$$0.0673 \geq \left( \frac{1}{15} \right)^n$$

$$\log_{15}(0.0673) \geq -n$$

$$n \geq -\log_{15}(0.0673)$$

$$n \approx 3.45$$

因此，需要连续4次检测阳性，才能达到90%以上的罹患概率。