82-sc-r4 追試験 問題1 問1 (2)

为了计算参数方程 $x = \theta - \sin \theta$ 和 $y = 1 - \cos \theta$ 在 $0 < \theta < 2\pi$ 范围内的弧长，我们需要使用弧长公式。对于参数方程 $x = f(\theta)$ 和 $y = g(\theta)$，弧长 $L$ 可以表示为：

$$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta$$

在本题中，$x = \theta - \sin \theta$ 和 $y = 1 - \cos \theta$，我们先计算它们对 $\theta$ 的导数：

$$\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (\theta - \sin \theta) = 1 - \cos \theta$$

$$\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} (1 - \cos \theta) = \sin \theta$$

然后将它们代入弧长公式：

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(1 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2} \, d\theta$$

我们知道 $(1 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2$ 可以化简为：

$$(1 - \cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 = 1 - 2\cos \theta + \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 2 - 2\cos \theta$$

所以弧长公式可以进一步简化为：

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2 - 2\cos \theta} \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{2(1 - \cos \theta)} \, d\theta = \int_0^{2\pi} \sqrt{4\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)} \, d\theta$$

由于 $\sqrt{4\sin^2 \left(\frac{\theta}{2}\right)} = 2|\sin \left(\frac{\theta}{2}\right)|$，并且在 $0 < \theta < 2\pi$ 范围内，$\sin \left(\frac{\theta}{2}\right)$ 的绝对值始终为正，因此可以去掉绝对值符号：

$$L = \int_0^{2\pi} 2\sin \left(\frac{\theta}{2}\right) \, d\theta$$

为了简化积分，我们做变量替换，令 $u = \frac{\theta}{2}$，则 $du = \frac{1}{2} d\theta$，$d\theta = 2 du$，积分上下限从 $\theta = 0$ 到 $\theta = 2\pi$ 变为 $u = 0$ 到 $u = \pi$:

$$L = \int_0^\pi 2 \cdot 2 \sin u \, du = 4 \int_0^\pi \sin u \, du$$

积分 $\int_0^\pi \sin u \, du$ 为：

$$\int_0^\pi \sin u \, du = -\cos u \Big|_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2$$

因此弧长 $L$ 为：

$$L = 4 \cdot 2 = 8$$

所以，参数方程 $x = \theta - \sin \theta$， $y = 1 - \cos \theta$ 在 $0 < \theta < 2\pi$ 范围内的弧长为 8。