82-sc-r5 問題1 問2

问题 2

问 1

给定矩阵$P$和$A$如下：

$$P = \begin{pmatrix} 7 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{pmatrix}$$

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -\sqrt{3} \end{pmatrix}$$

1. 计算$P$的特征值和特征向量：

   步骤：

   • 计算$P$的特征值$\lambda$，通过解特征方程$\det(P - \lambda I) = 0$。
   • 对于每个特征值$\lambda$，计算对应的特征向量$\mathbf{v}$，使得$(P - \lambda I)\mathbf{v} = 0$。
   • 将特征向量归一化为单位向量。

   解答：

   • 计算特征值：

   $$\det\begin{pmatrix} 7 - \lambda & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 - \lambda \end{pmatrix} = (7 - \lambda)(5 - \lambda) - (\sqrt{3})^2 = \lambda^2 - 12\lambda + 32$$

   设$\lambda^2 - 12\lambda + 32 = 0$，解得$\lambda_1 = 8$和$\lambda_2 = 4$。

   • 计算特征向量：

     对于$\lambda_1 = 8$：

   $$(P - 8I) = \begin{pmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -3 \end{pmatrix}$$

   解$(P - 8I)\mathbf{v} = 0$，得特征向量$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$，归一化后$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$。

   对于$\lambda_2 = 4$：

   $$(P - 4I) = \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}$$

   解$(P - 4I)\mathbf{v} = 0$，得特征向量$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$，归一化后$\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} \frac{-\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。

2. 绘制$\phi(\mathbf{x}) = 8$的等值线，并标出特征向量：

   -$\phi(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T P \mathbf{x} = 8$表示一个椭圆。设定$\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$，等式化为$(x_1, x_2) \begin{pmatrix} 7 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = 8$。

   • 可以用图形工具绘制椭圆，并在图上标出特征向量$\mathbf{v}_1$和$\mathbf{v}_2$。

3. 证明向量$\mathbf{f}(\mathbf{x})$总是指向$\phi(\mathbf{x})$减少的方向：

   • 计算$\phi(\mathbf{x})$的梯度：

   $$\nabla \phi(\mathbf{x}) = 2P \mathbf{x}$$

   • 计算$\mathbf{f}(\mathbf{x}) = A \mathbf{x}$。
   • 证明梯度与$\mathbf{f}(\mathbf{x})$的夹角总是大于$\frac{\pi}{2}$： 夹角$\theta$满足$\cos \theta = \frac{\nabla \phi(\mathbf{x})^T \mathbf{f}(\mathbf{x})}{\|\nabla \phi(\mathbf{x})\| \|\mathbf{f}(\mathbf{x})\|}$。 证明$\cos \theta \leq 0$即$\theta \geq \frac{\pi}{2}$。

问 2

1. 证明斜对称矩阵的对角元素为 0：

   斜对称矩阵满足$P^T = -P$。设$P$的对角元素为$p_{ii}$，则：

$$(P^T)_{ii} = P_{ii} = -P_{ii} \implies P_{ii} = 0$$

2. 证明当$n$为奇数时，斜对称矩阵的行列式为 0：

   • 斜对称矩阵的行列式具有如下性质：$\det(P) = \det(-P) = (-1)^n \det(P)$。
   • 当$n$为奇数时，$(-1)^n = -1$，因此$\det(P) = - \det(P) \implies \det(P) = 0$。

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对于给定的矩阵 $P = \begin{bmatrix} 7 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{bmatrix}$，二次型 $\phi(x) = x^T P x = 8$ 表示一个椭圆。要确定这个椭圆的详细特征（如半长轴、半短轴和旋转角度），我们需要对矩阵 $P$ 进行特征值分解。

1. 对矩阵 $P$ 进行特征值分解

首先计算矩阵 $P$ 的特征值和特征向量：

$$P = \begin{bmatrix} 7 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 \end{bmatrix}$$

计算特征值和特征向量：

$$\text{det}(P - \lambda I) = \begin{vmatrix} 7 - \lambda & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 - \lambda \end{vmatrix} = (7 - \lambda)(5 - \lambda) - (\sqrt{3})^2 = \lambda^2 - 12\lambda + 32 = 0$$

求解特征值 $\lambda$：

$$\lambda^2 - 12\lambda + 32 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 128}}{2} = \frac{12 \pm 4}{2} \Rightarrow \lambda_1 = 8, \lambda_2 = 4$$

特征值分别为 $8$ 和 $4$。

接下来计算对应的特征向量：

对于 $\lambda_1 = 8$：

$$\begin{bmatrix} 7 - 8 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 - 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0$$

解得特征向量：

$$\begin{bmatrix} -1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow x_1 = \sqrt{3} x_2 \Rightarrow \text{特征向量为} \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$$

归一化得到：

$$q_1 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$$

对于 $\lambda_2 = 4$：

$$\begin{bmatrix} 7 - 4 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 5 - 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = 0$$

解得特征向量：

$$\begin{bmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = 0 \Rightarrow y_1 = -\sqrt{3} y_2 \Rightarrow \text{特征向量为} \begin{bmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$$

归一化得到：

$$q_2 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$$

2. 计算半长轴和半短轴

根据特征值 $\lambda_1 = 8$ 和 $\lambda_2 = 4$：

$$a = \frac{1}{\sqrt{\lambda_1}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}, \quad b = \frac{1}{\sqrt{\lambda_2}} = \frac{1}{2}$$

3. 计算旋转角度

特征向量 $q_1$ 和 $q_2$ 与坐标轴之间的夹角：

$$q_1 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}, \quad q_2 = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} -\sqrt{3} \\ 1 \end{bmatrix}$$

其中，$\theta$ 是主轴与 $x$ 轴的夹角，由 $q_1$ 的方向确定：

$$\theta = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$$

4. 绘制椭圆

利用这些参数，我们可以绘制椭圆：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 矩阵 P
P = np.array([[7, np.sqrt(3)],
              [np.sqrt(3), 5]])

# 特征值和特征向量
eigvals, eigvecs = np.linalg.eigh(P)

# 半长轴和半短轴
a = 1 / np.sqrt(eigvals[1])
b = 1 / np.sqrt(eigvals[0])

# 生成椭圆点
theta = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)
ellipse = np.array([a * np.cos(theta), b * np.sin(theta)])

# 旋转椭圆
R = eigvecs
rotated_ellipse = R @ ellipse

# 绘制椭圆
plt.plot(rotated_ellipse[0, :], rotated_ellipse[1, :], label='Ellipse')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.axis('equal')
plt.grid()
plt.legend()
plt.title('$x^T P x = 8$')
plt.show()

通过这些步骤，可以从二次型 $\phi(x) = x^T P x = 8$ 中提取出椭圆的特征并绘制出相应的图形。

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二次型 $x^T P x$ 可以表示一个椭圆，但这取决于矩阵 $P$ 的性质以及二次型方程右边的常数。在二维情况下，如果 $P$ 是正定的，二次型 $x^T P x = c$（其中 $c$ 是一个正数）描述的是一个椭圆。

椭圆的方程

在二维空间中，如果 $P$ 是正定矩阵，那么 $x^T P x = c$ 描述的是一个椭圆。假设 $P$ 经过特征值分解可以表示为 $P = Q \Lambda Q^T$，其中 $Q$ 是包含 $P$ 的特征向量的正交矩阵，$\Lambda$ 是对角线上为 $P$ 的特征值的对角矩阵。此时，二次型可以重写为：

$$x^T P x = x^T Q \Lambda Q^T x = (Q^T x)^T \Lambda (Q^T x)$$

设 $y = Q^T x$，则有：

$$y^T \Lambda y = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 = c$$

其中 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $\Lambda$ 对角线上的元素（$P$ 的特征值），而 $y_1, y_2$ 是变换后的坐标系中的坐标。将上述方程整理可得：

$$\frac{y_1^2}{c/\lambda_1} + \frac{y_2^2}{c/\lambda_2} = 1$$

这是一个标准的椭圆方程，其中半轴的长度分别为 $\sqrt{c/\lambda_1}$ 和 $\sqrt{c/\lambda_2}$。

椭圆方程的右边

在椭圆的标准方程中，右边通常是 1。如果右边是其他数字 $d$，则方程变为：

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = d$$

为了将其标准化成椭圆方程，我们可以除以 $d$：

$$\frac{x^2}{a^2/d} + \frac{y^2}{b^2/d} = 1$$

这意味着实际的半轴变为 $\sqrt{a^2/d}$ 和 $\sqrt{b^2/d}$。当 $d$ 增大时，椭圆变小；当 $d$ 减小时，椭圆变大。

椭圆的变化

如果方程右边的常数 $c$ 变化，则椭圆的大小相应变化。更具体地说：

• 当 $c$ 增加时，椭圆的大小增大，因为半轴 $\sqrt{c/\lambda_1}$ 和 $\sqrt{c/\lambda_2}$ 都会变大。
• 当 $c$ 减少时，椭圆的大小减小。

这种方式通过改变等式右边的常数 $c$，直接影响了椭圆的尺寸，但保持了其形状和方向。

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当椭圆方程的右边从标准的 1 变为其他数值（例如 8），这实际上对椭圆的大小有直接的影响。这里，我们考虑的方程是：

$$\frac{x^2}{a^2/d} + \frac{y^2}{b^2/d} = 8$$

调整方程的形式

首先，将方程整理为标准的椭圆形式，我们可以通过将方程两边除以 8 来实现：

$$\frac{x^2}{(a^2/d)/8} + \frac{y^2}{(b^2/d)/8} = 1$$

简化一下得：

$$\frac{x^2}{a^2/(8d)} + \frac{y^2}{b^2/(8d)} = 1$$

椭圆的变化解释

上面的方程表明椭圆的新半轴长度为：

• 半长轴的长度：$\sqrt{a^2/(8d)}$
• 半短轴的长度：$\sqrt{b^2/(8d)}$

对椭圆的实际影响

当方程右边的数值由 1 变为 8 时，根据上述调整后的方程，椭圆的半长轴和半短轴实际上都变小了。具体来说：

• 半长轴和半短轴都被除以 $\sqrt{8}$，这意味着椭圆的每个轴长都缩小了。
• 这种缩小等同于将每个轴长乘以 $\frac{1}{\sqrt{8}} \approx 0.354$，相比原来的尺寸缩小了。

几何直观

从几何上看，如果原来的椭圆方程是 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，这个椭圆拥有半轴 $a$ 和 $b$。将方程右边改为 8 后，实际上是将整个椭圆沿着原点对称地缩小了 $\sqrt{8}$ 倍，得到了一个更小的椭圆，其半轴为 $\frac{a}{\sqrt{8}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{8}}$。

这种变换可以在各种图形处理软件或者通过数学工具进行可视化，以更直观地理解椭圆的这种变化。

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二次型 $x^T P x = c$ 中的特征值与椭圆的拉伸有直接关系。这里的特征值 $\lambda_1 = 8$ 和 $\lambda_2 = 4$ 表示矩阵 $P$ 沿其特征向量方向的缩放因子的倒数。如果你的二次型方程是 $x^T P x = 8$，那么椭圆的半长轴和半短轴可以通过以下方式计算：

从特征值到椭圆的半轴长度

对于二次型方程 $x^T P x = c$，其与椭圆方程的对应关系为：

$$\frac{y_1^2}{c/\lambda_1} + \frac{y_2^2}{c/\lambda_2} = 1$$

其中，$y_1$ 和 $y_2$ 是在特征向量定义的新坐标系中的坐标。对于这种情况：

• 半长轴 $a$ 对应较小的特征值（因为较小的特征值对应较大的分母，从而产生较长的轴），即 $\lambda_2 = 4$。
• 半短轴 $b$ 对应较大的特征值（因为较大的特征值对应较小的分母，从而产生较短的轴），即 $\lambda_1 = 8$。

因此：

$$a = \sqrt{\frac{8}{4}} = \sqrt{2}, \quad b = \sqrt{\frac{8}{8}} = 1$$

解释

• 特征值 $\lambda_1 = 8$ 和 $\lambda_2 = 4$ 表示在各自的特征向量方向上，二次型方程形成的椭圆被拉伸的程度。具体来说，$\lambda_2 = 4$ 对应的方向上拉伸较少（因为 $c/\lambda_2 = 2$），而 $\lambda_1 = 8$ 对应的方向上拉伸更多（因为 $c/\lambda_1 = 1$）。
• $\lambda_1 = 8$ 表示在这个方向上的拉伸因子是 $\sqrt{8/c} = \sqrt{1} = 1$，这意味着在此方向上长度没有放缩，保持原始大小。
• $\lambda_2 = 4$ 表示在这个方向上的拉伸因子是 $\sqrt{8/c} = \sqrt{2}$，这意味着在此方向上长度放大了 $\sqrt{2}$ 倍。

几何直观

这种几何直观的解释是基于标准椭圆的尺寸和特征值的倒数关系。较大的特征值导致较小的分母，因此在这个方向上的拉伸程度较小，产生较短的轴；而较小的特征值则导致较大的分母，因此在这个方向上的拉伸程度较大，产生较长的轴。这解释了二次型的特征值如何影响椭圆形状的拉伸。