判断积分顺序

要计算 $xy$ 平面和 $xz$ 平面单位圆柱相交部分的体积，我们需要分析它们在空间中的几何形状。单位圆柱通常定义为底面半径为1的圆柱，延伸的高度可以根据情况变化。这里的问题是两个单位圆柱沿不同轴延伸，一个沿 $z$ 轴（$xy$ 平面的圆柱），一个沿 $y$ 轴（$xz$ 平面的圆柱）。

圆柱方程：

1. 圆柱沿 $z$ 轴延伸，底面在 $xy$ 平面：$x^2 + y^2 = 1$。
2. 圆柱沿 $y$ 轴延伸，底面在 $xz$ 平面：$x^2 + z^2 = 1$。

求交部分：

两个圆柱的交集形成一个在三维空间中的复杂几何形状，称为“双圆柱体”或“双曲双圆柱”。此形状在每个坐标轴上的截面都呈圆形。

计算体积：

体积的计算可以通过积分来解决，因为这是一个对称的几何体，我们可以通过计算一个八分之一体积然后乘以8来简化问题。由于形状的对称性，我们考虑 $x, y, z$ 都非负的情况。具体的积分计算如下：

$$V = 8 \int_0^1 \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} dz \, dy \, dx$$

这里，积分的三个变量 $x, y, z$ 都被限制在相交圆柱内，$y$ 和 $z$ 的积分限制由 $x^2 + y^2 \leq 1$ 和 $x^2 + z^2 \leq 1$ 确定。上面的积分首先对 $z$ 从 0 到 $\sqrt{1-x^2}$ 积分，这是因为对于给定的 $x$，$z$ 的最大值由 $xz$ 平面的圆柱决定。同理，$y$ 的积分限也是从 0 到 $\sqrt{1-x^2}$。

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这个问题中，判断积分顺序及其上下限涉及到理解交集体的几何形状以及坐标轴的对称性。在处理这种类型的重积分时，通常遵循以下步骤：

1. 分析几何形状： 考虑两个圆柱：一个沿 $z$ 轴延伸（$xy$ 平面上的圆），一个沿 $y$ 轴延伸（$xz$ 平面上的圆）。这些圆柱相交形成一个对称的几何体，通常被称为Steinmetz 固体。

2. 选择积分变量： 积分变量的选择取决于哪个变量提供了最简洁的积分界限。通常，选择一个变量作为主变量，使得其他变量的积分界限尽可能简单。在这个例子中，我们选择 $x$ 作为外积分变量，因为对于每个 $x$ 值，$y$ 和 $z$ 的界限都是基于 $x$ 的相同函数。

3. 确定积分界限：

   • 外积分（这里是 $x$）的界限取决于整个交集体在该轴上的范围。由于每个圆柱的半径为1，且中心在原点，所以 $x$ 的范围是从 $0$ 到 $1$（考虑到对称性，只取一半即可）。
   • 中积分（这里是 $y$）的界限在给定 $x$ 的情况下，由 $x^2 + y^2 \leq 1$ 决定，即 $y$ 从 $0$ 到 $\sqrt{1 - x^2}$。
   • 内积分（这里是 $z$）的界限也由 $x$ 的当前值决定，由同样的方程 $x^2 + z^2 \leq 1$ 确定，即 $z$ 的界限也是从 $0$ 到 $\sqrt{1 - x^2}$。

4. 考虑对称性： 由于几何体在所有三个坐标轴上都是对称的，可以只计算体积的一个八分之一，然后将结果乘以8。

在设置积分顺序时，需要保证每一层的积分界限可以根据上一层的变量简单地表达。选择不同的积分顺序可能会使得某些界限更加复杂，从而使得积分过程更加困难。有时，更改积分顺序可以简化积分过程，特别是当某些积分界限在特定顺序下变得更容易处理时。在这个特定问题中，选择 $x$ 为外变量帮助我们利用对称性简化问题，并且保持其他两个变量的积分界限相对简单。