82-sc-r4 追試験-問題1-問1‐(2)

要计算由这两个参数方程定义的曲线 $x = a(\theta - \sin(\theta))$ 和 $y = a(1 - \cos(\theta))$，其中 $\theta$ 的取值范围是 $[0, 2\pi]$ 的长度，我们可以使用弧长公式。这个公式是：

$$L = \int_{a}^{b} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} \, d\theta$$

首先，我们需要找到 $\frac{dx}{d\theta}$ 和 $\frac{dy}{d\theta}$。然后将这些代入到积分公式中，并在给定的范围 $[0, 2\pi]$ 内对其进行积分。我将计算这个积分。 计算得到的曲线长度为：

$$L = \sqrt{2} \cdot a \cdot \int_{0}^{2\pi} \sqrt{1 - \cos(\theta)} \, d\theta$$

这个表达式代表了曲线的长度，但需要进一步计算积分来得到具体的数值结果。