82-sc-r4 問題2 問3

对于一个反对称矩阵 $X$，我们可以使用其特征根（固有值）来表示 $Y = e^X$ 的行列式 $\det(Y)$。具体来说，行列式 $\det(Y)$ 可以通过 $X$ 的特征根来表示。下面是详细的推导过程：

反对称矩阵的性质

1. 反对称矩阵：矩阵 $X$ 是反对称的，如果 $X^T = -X$。
2. 特征根的性质：反对称矩阵 $X$ 的特征根（固有值）都是纯虚数或零。

行列式与特征根的关系

对于一个反对称矩阵 $X$，假设其特征根为 $i\lambda_1, -i\lambda_1, i\lambda_2, -i\lambda_2, \ldots, i\lambda_n, -i\lambda_n$。这里 $\lambda_k$ 是实数。

行列指数函数

矩阵 $X$ 的指数函数 $Y = e^X$ 的定义如下：

$$e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{X^n}{n!}$$

特征值的关系

如果 $X$ 的特征值是 $i\lambda_k$ 和 $-i\lambda_k$，那么 $e^X$ 的特征值就是 $e^{i\lambda_k}$ 和 $e^{-i\lambda_k}$。

行列式的计算

行列式 $\det(Y)$ 可以表示为 $Y$ 的所有特征值的乘积。因为 $X$ 的特征值是纯虚数，所以 $Y = e^X$ 的特征值是：

$$e^{i\lambda_1}, e^{-i\lambda_1}, e^{i\lambda_2}, e^{-i\lambda_2}, \ldots, e^{i\lambda_n}, e^{-i\lambda_n}$$

这些特征值的乘积为：

$$\det(e^X) = e^{i\lambda_1} \cdot e^{-i\lambda_1} \cdot e^{i\lambda_2} \cdot e^{-i\lambda_2} \cdots e^{i\lambda_n} \cdot e^{-i\lambda_n}$$

因为 $e^{i\lambda_k} \cdot e^{-i\lambda_k} = e^{i\lambda_k - i\lambda_k} = e^0 = 1$，所以每一对特征值的乘积都是1。

最终结果

因此，所有特征值的乘积为1，所以：

$$\det(e^X) = 1$$

结论

对于一个反对称矩阵 $X$，$Y = e^X$ 的行列式 $\det(Y)$ 等于1。这一结论是利用 $X$ 的特征值性质和矩阵指数函数的定义得出的。

抱歉，我在之前的回答中确实跳过了一些关键步骤。让我们更详细地推导 $Y = e^X$ 的行列式 $\det(Y)$ 如何与 $X$ 的特征根（固有值）相关联。

基本概念

1. 反对称矩阵 $X$：满足 $X^T = -X$。
2. 特征根 $\lambda_i$：$X$ 的特征根（固有值）都是纯虚数或零。
3. 行列指数函数 $e^X$：定义为

   $$e^X = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{X^n}{n!}$$

特征值和行列式的关系

1. 特征值的求解：

   • 如果 $X$ 的特征值是 $i\lambda_1, -i\lambda_1, i\lambda_2, -i\lambda_2, \ldots, i\lambda_n, -i\lambda_n$，则 $e^X$ 的特征值为 $e^{i\lambda_1}, e^{-i\lambda_1}, e^{i\lambda_2}, e^{-i\lambda_2}, \ldots, e^{i\lambda_n}, e^{-i\lambda_n}$。

2. 行列式的计算：

   • 行列式 $\det(Y)$ 是 $Y$ 的所有特征值的乘积。

推导过程

1. 对角化：

   • 反对称矩阵 $X$ 可以被对角化为 $X = PDP^{-1}$，其中 $D$ 是包含 $X$ 的特征值的对角矩阵。

2. 指数矩阵的对角化：

   • 由于 $e^X = e^{PDP^{-1}} = Pe^DP^{-1}$，这里 $e^D$ 是 $D$ 的指数矩阵。
   • 因此，$e^D$ 的对角元是 $e^{i\lambda_1}, e^{-i\lambda_1}, e^{i\lambda_2}, e^{-i\lambda_2}, \ldots, e^{i\lambda_n}, e^{-i\lambda_n}$。

3. 特征值乘积：

   • 行列式 $\det(Y) = \det(e^X)$ 等于 $e^X$ 的所有特征值的乘积。
   • 因为每一对特征值 $e^{i\lambda_k}$ 和 $e^{-i\lambda_k}$ 的乘积是 $e^{i\lambda_k} \cdot e^{-i\lambda_k} = e^{i\lambda_k - i\lambda_k} = e^0 = 1$。

4. 所有特征值乘积：

   • 所有特征值的乘积为

     $$\prod_{k=1}^{n} e^{i\lambda_k} \cdot e^{-i\lambda_k} = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdots 1 = 1$$

结论

因此，对于一个反对称矩阵 $X$，$Y = e^X$ 的行列式 $\det(Y)$ 是1。

这样，通过考虑反对称矩阵 $X$ 的特征值及其指数函数 $e^X$ 的特征值，我们可以推导出 $\det(Y)$ 是1。

继续推导 $\det(Y) = \det(P e^D P^{-1})$ 可以通过以下步骤来进行，并且说明行列式如何等于特征值的指数：

行列式的性质

首先，利用行列式的几个重要性质：

1. $\det(AB) = \det(A) \det(B)$ 对任意矩阵 $A$ 和 $B$ 都成立。
2. $\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)}$ 对任意可逆矩阵 $P$ 成立。

推导过程

我们已经有：

$$Y = e^X = Pe^DP^{-1}$$

1. 行列式的计算：

   $$\det(Y) = \det(P e^D P^{-1})$$

2. 利用行列式的性质： 根据行列式的性质 $\det(AB) = \det(A) \det(B)$，我们可以展开：

   $$\det(Y) = \det(P) \det(e^D) \det(P^{-1})$$

3. 行列式的逆矩阵性质：

   $$\det(P^{-1}) = \frac{1}{\det(P)}$$

4. 代入上述关系：

   $$\det(Y) = \det(P) \det(e^D) \frac{1}{\det(P)}$$

5. 简化：

   $$\det(Y) = \det(e^D)$$

对角矩阵 $e^D$ 的行列式

因为 $D$ 是对角矩阵，其对角元素是 $X$ 的特征值 $i\lambda_1, -i\lambda_1, i\lambda_2, -i\lambda_2, \ldots, i\lambda_n, -i\lambda_n$，所以 $e^D$ 的对角元素是 $e^{i\lambda_1}, e^{-i\lambda_1}, e^{i\lambda_2}, e^{-i\lambda_2}, \ldots, e^{i\lambda_n}, e^{-i\lambda_n}$。

计算对角矩阵的行列式

对角矩阵 $e^D$ 的行列式是其对角元素的乘积：

$$\det(e^D) = e^{i\lambda_1} \cdot e^{-i\lambda_1} \cdot e^{i\lambda_2} \cdot e^{-i\lambda_2} \cdot \ldots \cdot e^{i\lambda_n} \cdot e^{-i\lambda_n}$$

因为对于每对特征值 $e^{i\lambda_k}$ 和 $e^{-i\lambda_k}$，我们有：

$$e^{i\lambda_k} \cdot e^{-i\lambda_k} = e^{i\lambda_k - i\lambda_k} = e^0 = 1$$

所以所有对角元素的乘积是：

$$\det(e^D) = 1 \cdot 1 \cdot \ldots \cdot 1 = 1$$

最终结果

因此，$det(Y) = \det(e^X) = 1$。

通过上述推导，我们可以清楚地看到，行列式 $\det(Y)$ 确实等于 $X$ 的特征值指数的乘积，而这个乘积恰好为1。