専門試験

問題1

問1

3次元空間に直交座標系 $O-xyz$ をとる。 $x^2 + y^2\leq 1$, $0\leq z \leq 1$ で定められる 領域$V$の表面を$S$とする。 ベクトル場$A$が$A= (x,y,0)$で与えられる場合に次式の$S$上における法線面積分$I_A$を計算せよ。

$$I_A=\int_S A\cdot dS$$

ただし，面積要素ベクトル$dS$は領域$V$の外向きを正とする。 82-sc-r5 問題1 問1

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問題2

問1

$$x = [x_1, x_2]^T \in \mathbb{R}^2$$

として、$x_1$-$x_2$ 平面上に定義されるスカラー場 $\phi(x) = x^T P x$ とベクトル場 $f(x) = Ax$ を考える。ここで、

$$P = \begin{bmatrix} 7 & \frac{\sqrt{3}}{5} \\ \frac{\sqrt{3}}{5} & 3 \end{bmatrix}, \quad A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & \frac{\sqrt{3}}{5} \end{bmatrix}.$$

(1)

$P$ の固有値と、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルを求めよ。なお、固有ベクトルは大きさを 1 として正規化せよ。

(2)

$\phi(x) = 8$ を満たす点の集合を $x_1$-$x_2$ 平面上に描け。このとき、(1) で求めた固有ベクトルもあわせて図示せよ。

(3)

ベクトル場 $f(x)$ は常に $\phi(x)$ が減少する方向に向いている。このことを示すために、原点を除く任意の $x \in \mathbb{R}^2$ で $\phi(x)$ の勾配ベクトル $\begin{bmatrix}\frac{\partial \phi}{\partial x_1} ,\frac{\partial \phi}{\partial x_2}\end{bmatrix}^T$ とベクトル $f(x)$ のなす角度が $\frac{\pi}{2}$ よりも小さいことを示せ。 82-sc-r5 問題1 問2

問2

歪対称行列 $P \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を考える。歪対称行列とは、$P^T = -P$ を満たす行列である。

(1)

歪対称行列の対角成分は 0 であることを示せ。

(2)

$n$ が奇数のとき、歪対称行列の行列式は 0 であることを示せ。

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問題3

問2

考虑一个有1个输入和2个输出的系统。

\usepackage{tikz}

\begin{document}
\begin{tikzpicture}
  % 定义节点
  \node (input) at (0, 0) {input $u$};
  \node (system) at (3, 0) [rectangle, draw, minimum width=2cm, minimum height=1cm] {System};
  \node (output1) at (6, 0.5) {output $v$};
  \node (output2) at (6, -0.5) {output $w$};

  % 连接箭头
  \draw[->] (input) -- (system.west);
  \draw[->] (system.east) -- ++(0.5, 0.5) -- (output1.west);
  \draw[->] (system.east) -- ++(0.5, -0.5) -- (output2.west);
  
\end{tikzpicture}
\end{document}

已知得到了$N$组输入输出数据$\{(u_i, v_i, w_i) | i = 1, 2, ..., N\}$。使用这些数据来通过最小二乗法拟合以下两个回归模型：

$$v = au + a + b$$

$$w = au^2 - 2au + a + b$$

(1)

求解 $v$ 的残差二乗和 $E_v$ 和 $w$ 的残差二乗和 $E_w$。

(2)

求使得 $E = E_v + E_w$ 最小的参数 $a$ 和 $b$。通过解决一个系统方程来找到最优的 $a$ 和 $b$。系统中已经定义了参数 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\xi$, $\eta$ 来表达某些和 $u$、$v$、$w$ 相关的累加或累乘项。给定条件 $\alpha\beta - \gamma^2 \neq 0$，确保系统方程有解。

$$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \gamma & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \xi \\ \eta \end{bmatrix}$$

最小二乘法例题