拉普拉斯变换解决实指数积分

我们要求的是如下极限：

$$\lim_{t \to \infty}\int_0^{t}e^{-\tau} \cos(\omega \tau)d\tau$$

可以使用拉普拉斯变换来简化这个问题。假设我们要计算以下积分：

$$\int_0^{\infty}e^{-\tau} \cos(\omega \tau)d\tau$$

这是一个常见的形式，可以直接应用拉普拉斯变换的性质来求解。 首先，回忆拉普拉斯变换的定义：

$$\mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt$$

我们考虑函数 $f(t) = e^{-t} \cos(\omega t)$ 的拉普拉斯变换：

$$\mathcal{L}\{e^{-t} \cos(\omega t)\}$$

根据拉普拉斯变换的线性性质和拉普拉斯变换表，我们知道：

$$\mathcal{L}\{e^{-at} f(t)\} = F(s + a)$$

这里 $F(s)$ 是 $f(t)$ 的拉普拉斯变换。因此，对于 $e^{-t} \cos(\omega t)$，可以看作 $e^{-t} \cdot \cos(\omega t)$ 的拉普拉斯变换：

$$\mathcal{L}\{e^{-t} \cos(\omega t)\}(s) = \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s+1)$$

我们知道 $\cos(\omega t)$ 的拉普拉斯变换是：

$$\mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}(s) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}$$

因此， $\mathcal{L}\{e^{-t} \cos(\omega t)\}$ 是：

$$\mathcal{L}\{e^{-t} \cos(\omega t)\}(s) = \frac{s+1}{(s+1)^2 + \omega^2}$$

令 $s = 0$，因为我们感兴趣的是从 $t = 0$ 到 $t = \infty$ 的积分：

$$\mathcal{L}\{e^{-t} \cos(\omega t)\}(0) = \frac{1}{1 + \omega^2}$$

因此，所求的极限是：

$$\lim_{t \to \infty}\int_0^{t}e^{-\tau} \cos(\omega \tau)d\tau = \int_0^{\infty}e^{-\tau} \cos(\omega \tau)d\tau = \frac{1}{1 + \omega^2}$$

所以最终结果为：

$$\boxed{\frac{1}{1 + \omega^2}}$$