最小二乘法例题

修正方程式

首先，我们需要修正给出的方程式，确保参数的定义和线性方程组的形式正确无误。你提供的正确的方程式为：

$$\begin{bmatrix} \alpha & \gamma \\ \gamma & \beta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \xi \\ \eta \end{bmatrix}$$

残差的二乗和的计算

对于第一问，我们需要计算$v$的残差的二乗和$E_v$以及$w$的残差的二乗和$E_w$。这些残差的二乗和可以用于最小二乗法回归的误差估计。以下是这些计算的详细步骤：

(1) 计算 $E_v$

对于每个数据点$(u_i, v_i, w_i)$，模型预测的$v_i$值为$v_i = au_i + a + b$。因此，$v$的残差为$v_i - (au_i + a + b)$，其残差的二乗和为：

$$E_v = \sum_{i=1}^N (v_i - (au_i + a + b))^2$$

(2) 计算 $E_w$

对于$w$，模型预测的$w_i$值为$w_i = au_i^2 - 2au_i + a + b$。因此，$w$的残差为$w_i - (au_i^2 - 2au_i + a + b)$，其残差的二乗和为：

$$E_w = \sum_{i=1}^N (w_i - (au_i^2 - 2au_i + a + b))^2$$