82-sc-r5 問題1 問1

以下是GPT-4的回答，跟闹着玩似的，看看就好

问题 在三维空间中，取直角坐标系 $O-xyz$。区域 $V$ 由 $x^2 + y^2 \leq 1$, $0 \leq z \leq 1$ 确定，其表面为 $S$。向量场 $A$ 由 $A = (x, y, 0)$ 给出。计算以下在 $S$ 上的法线面积分 $I_A$：

$$I_A = \int_S A \cdot dS$$

其中，面积元素向量 $dS$ 的方向取区域 $V$ 的外向为正。

解答

1. 确定曲面 $S$：

   • 底面 $S_1$： $z = 0$ 且 $x^2 + y^2 \leq 1$。
   • 侧面 $S_2$： $x^2 + y^2 = 1$ 且 $0 \leq z \leq 1$。
   • 顶面 $S_3$： $z = 1$ 且 $x^2 + y^2 \leq 1$。

2. 计算底面 $S_1$ 上的积分：

   • 向量场 $A = (x, y, 0)$
   • 面积元素 $dS_1 = (0, 0, -1) \, dx \, dy$
   • 积分为：

   $$\int_{S_1} A \cdot dS_1 = \int_{S_1} (x, y, 0) \cdot (0, 0, -1) \, dx \, dy = 0$$

3. 计算侧面 $S_2$ 上的积分：

   • 向量场 $A = (x, y, 0)$
   • 面积元素 $dS_2$ 垂直于曲面，在圆柱坐标系下为 $(x, y, 0) \, dz \, d\theta$
   • 积分为：

   $$\int_{S_2} A \cdot dS_2 = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} (x, y, 0) \cdot (x, y, 0) \, dz \, d\theta$$

   由于 $dS_2$ 与 $A$ 的点积为 $0$，所以积分为 $0$。

4. 计算顶面 $S_3$ 上的积分：

   • 向量场 $A = (x, y, 0)$
   • 面积元素 $dS_3 = (0, 0, 1) \, dx \, dy$
   • 积分为：

   $$\int_{S_3} A \cdot dS_3 = \int_{S_3} (x, y, 0) \cdot (0, 0, 1) \, dx \, dy = 0$$

综上所述，各部分积分结果均为 $0$，故总的法线面积分 $I_A$ 为：

$$I_A = 0$$

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重新检查侧面 $S_2$ 上的积分：

1. 参数化侧面 $S_2$：

   • 在圆柱坐标系下，$S_2$ 由 $x = \cos \theta$, $y = \sin \theta$, $0 \leq z \leq 1$, $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 确定。

2. 确定面积元素 $d\mathbf{S}_2$：

   • 侧面 $S_2$ 的面积元素方向是径向外的法向量，可以表示为 $d\mathbf{S}_2 = (\cos \theta, \sin \theta, 0) \, dz \, d\theta$。

3. 计算向量场 $A$ 在 $S_2$ 上的积分：

   • 向量场 $A = (x, y, 0) = (\cos \theta, \sin \theta, 0)$
   • 面积元素 $d\mathbf{S}_2 = (\cos \theta, \sin \theta, 0) \, dz \, d\theta$
   • 点积 $A \cdot d\mathbf{S}_2 = (\cos \theta, \sin \theta, 0) \cdot (\cos \theta, \sin \theta, 0) \, dz \, d\theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \, dz \, d\theta = dz \, d\theta$

4. 积分计算：

   $$\int_{S_2} A \cdot d\mathbf{S}_2 = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} dz \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} dz = 2\pi \cdot 1 = 2\pi$$

所以，重新计算侧面 $S_2$ 的通量，积分结果为 $2\pi$。

总结

最终的通量 $I_A$ 是各部分通量的总和：

$$I_A = 0 + 2\pi + 0 = 2\pi$$